Lagrangeeva števila so v matematiki zaporedja števil, ki se pojavljajo v mejah pri aproksimaciji iracionalnih števil z racionalnimi števili. Z njimi je povezan Hurwitzev izrek.
Definicija
Hurwitz je izboljšal Dirichletov kriterij iracionalnosti v izjavo, da je realno število iracionalno če in samo če obstaja neskončno mnogo takšnih racionalnih števil , zapisanih okrajšano, da velja:
To je izboljšava Dirichletovega rezultata, ki je imel na desni strani člen . Hurwitzeva vrednost je najboljša možna, ker je število zlatega reza iracionalno, vendar, če se v zgornjem izrazu √5 zamenja s poljubnim večjim številom, bo moč najti le končno mnogo racionalnih števil, za katere velja neenakost za .
Hurwitz je pokazal tudi, da če se ne upošteva, in se iz njega izpeljejo števila, se lahko poveča število √5. Pokazal je, da se ga lahko nadomesti s številom 2√2. Spet je sedaj ta meja najboljša možna v novem primeru, vendar je sedaj problem število √2. Če število √2 ni dovoljeno, se lahko na desni strani neenakosti poviša s števila 2√2 na (√221)/5. Ta ponavljajoči proces da neskončno zaporedje števil, ki konvergirajo k 3. Ta števila se imenujejo Lagrangeeva števila. po Josephu Louisu Lagrangeu. Prva Lagrangeeva števila so:
, , ,
Povezava s števili Markova
n-to Lagrangeevo število je dano z:
kjer je n-to število Markova,, to je takšno n-to najmanjše število m, da ima kvadratna enačba Markova:
rešitev v pozitivnih celih številih in .
Glej tudi
Freimanova konstanta spekter Markova
Sklici
Viri
Zunanje povezave
- spletni zapiski predavanj
Kategorija:Teorija števil