Хаверсинусна формула одређује ортодромско растојање између две тачке на сфери на основу њихових географских дужина и географских ширина. Важна у навигацији, она је посебан случај општије формуле у сферној тригонометрији, закона хаверсинуса, који повезује странице и углове сфeрних троуглова.
Прву табелу хаверсинуса на енглеском језику објавио је Џејмс Ендру 1805. године, али Флоријан Каџори приписује ранију употребу Хосеу де Мендози и Риосу 1801. године. (NB. ISBN and link for reprint of second edition by Cosimo, Inc., New York, 2013.) Термин хаверсинус (енгл. haversine) сковао је 1835. године Џејмс Инман. (Четврто издање: .)
Ови називи произилазе из чињенице да се обично пишу преко хаверсинусне функције, дате формулом . Формуле би се подједнако могле писати преко било ког умношка хаверсинуса, као што је старија функција версинус (двоструки хаверсинус). Пре појаве рачунара, елиминација дељења и множења факторима двојке показала се довољно практичном да су таблице вредности хаверсинуса и логаритама биле укључене у текстове о навигацији и тригонометрији из 19. и раног 20. века., Naval Institute Proceedings, ,: „Очигледно, ако се користи Табела хаверсинуса, бићемо поштеђени, у првом случају, муке дељења збира логаритама са два, а у другом случају, множења угла узетог из табела истим бројем. Ово је посебна предност облика табеле коју је први увео професор Инман са Краљевског морнаричког колеџа у Портсмуту пре скоро једног века.”W. W. Sheppard and C. C. Soule, .E. R. Hedrick, Logarithmic and Trigonometric Tables (Macmillan, New York, 1913). Данас је облик хаверсинуса такође погодан јер нема коефицијент испред функције .
thumb|Дијаграм који илуструје ортодромско растојање (исцртано црвеном бојом) између две тачке на сфери, P и Q. Такође су приказане две антиподне тачке, u и v.
Формула је у супротности са сферном косинусном теоремом, која је, међутим, теоријски еквивалентна.
Формулација Основни однос је приказан као: ,
где је: централни угао између било које две тачке на сфери, растојање између две тачке дуж великог круга сфере (види сферно растојање), полупречник сфере.
Хаверсинусна формула омогућава да се хаверсинус од израчуна директно из географске ширине (представљене са ) и географске дужине (представљене са ) две тачке:
где су: , географска ширина тачке 1 и географска ширина тачке 2, , географска дужина тачке 1 и географска дужина тачке 2, , .
Хаверсинусна функција израчунава половину версинуса угла , или квадрат половине тетиве угла на јединичном кругу (сфери). Повезана је са другим синусоидним функцијама: .
Да би се експлицитно решило по из разлика у географској ширини и дужини: , где се може израчунати помоћу:
и .
При коришћењу ових формула мора се водити рачуна да не пређе 1 услед грешке покретног зареза ( је реалан број само за ). се приближава вредности 1 само за антиподне тачке (на супротним странама сфере) — у овом региону, релативно велике нумеричке грешке теже да се појаве у формули када се користи коначна прецизност. Пошто је тада велико (приближава се , половини обима), мала грешка често није велика брига у овом неуобичајеном случају (иако постоје друге формуле за ортодромско растојање које избегавају овај проблем). (Формула изнад се понекад пише преко функције аркустангенса, али она пати од сличних нумеричких проблема близу .)
Као што је описано испод, слична формула се може написати користећи косинусе (понекад се назива сферна косинусна теорема, не треба је мешати са косинусном теоремом за раванску геометрију) уместо хаверсинуса, али ако су две тачке близу једна другој (нпр. километар удаљене, на Земљи), може се добити , што доводи до нетачног одговора. Пошто хаверсинусна формула користи синусе, она избегава тај проблем.
Било која од ових формула је само апроксимација када се примени на Земљу, која није савршена сфера: „полупречник Земље” варира од 6.356,752 km на половима до 6.378,137 km на екватору. Важније, полупречник кривине линије север-југ на Земљиној површини је 1% већи на половима (≈6.399,594 km) него на екватору (≈6.335,439 km) — тако да се за хаверсинусну формулу и закон косинуса не може гарантовати тачност већа од 0,5%. Тачније методе које узимају у обзир елиптичност Земље дате су Винсентијевим формула и другим формула у чланку о географском растојању.
Закон хаверсинуса right|thumb|Сферни троугао решен законом хаверсинуса Дата је јединична сфера, „троугао” на површини сфере дефинисан је великим круговима који повезују три тачке , и на сфери. Ако су дужине ове три странице (од до ), (од до ) и (од до ), а угао темена насупрот је , тада закон хаверсинуса гласи:
Пошто је ово јединична сфера, дужине , и су једноставно једнаке угловима (у радијанима) које те странице заклапају из центра сфере (за нејединичну сферу, свака од ових дужина лука једнака је свом централном углу помноженом са полупречником сфере).
Да би се добила хаверсинусна формула из претходног одељка из овог закона, једноставно се разматра специјалан случај где је Северни пол, док су и две тачке чије растојање треба одредити. У том случају, и су (то јест, ко-латитуде), је разлика географских дужина , а је тражено . Примећујући да је , хаверсинусна формула непосредно следи.
Да би се извео закон хаверсинуса, почиње се од сферне косинусне теореме:
Као што је горе поменуто, ова формула је лоше условљен начин за решавање када је мало. Уместо тога, замењујемо идентитет и такође користимо адициони идентитет , да бисмо добили закон хаверсинуса, наведен изнад.
Доказ Може се доказати формула:
трансформацијом тачака датих својом географском ширином и дужином у Декартове координате, а затим израчунавањем њиховог скаларног производа.
Посматрајмо две тачке на јединичној сфери, дате својом географском ширином и дужином :
Ове репрезентације су веома сличне сферним координатама, међутим, географска ширина се мери као угао од екватора, а не од северног пола. Ове тачке имају следеће репрезентације у Декартовим координатама:
Одавде бисмо могли директно покушати да израчунамо скаларни производ и наставимо, међутим, формуле постају значајно једноставније када размотримо следећу чињеницу: растојање између две тачке се неће променити ако ротирамо сферу дуж z-осе. Ово ће ефективно додати константу на . Имајте на уму да се слична разматрања не односе на трансформацију географских ширина — додавање константе ширинама може променити растојање између тачака. Бирањем наше константе да буде , и постављањем , наше нове тачке постају:
Са који означава угао између и , сада имамо да је:
Пример thumb|Геодезијска линија (црвено) која повезује Вашингтон са Паризом, приказана на пројекцији еквидистантној по двема тачкама, са геодезијским круговима (плаво) на сваких 1.000 km удаљености од Вашингтона.
Хаверсинусна формула се може користити за проналажење приближног растојања између Беле куће у Вашингтону (географска ширина 38,898° N, дужина 77,037° W) и Ајфелове куле у Паризу (географска ширина 48,858° N, дужина 2,294° E). Разлика у географским ширинама је 9,960°, а разлика у дужинама је 79,331°. Уношењем ових вредности у хаверсинусну формулу:
Ортодромско растојање је овај централни угао у радијанима (55,411 степени је 0,96710 радијана), помножен са просечним полупречником Земље:
Поређења ради, коришћењем тачнијег елипсоидног модела Земље, геодезијско растојање између ових знаменитости може се израчунати као приближно 6.177,45 km.Овај прорачун је направљен коришћењем софтвера отвореног кода за геодезијске прорачуне GeographicLib, под претпоставком WGS84 елипсоида. Види
Види још Сферна астрономија Винсентијеве формуле Косинусно растојање
Референце
Литература
Биро за попис становништва САД — Најчешћа питања о географским информационим системима, (садржај премештен на Који је најбољи начин за израчунавање удаљености између 2 тачке?)
W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, and H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed., ch. 12 .
Спољашње везе Имплементације хаверсинусне формуле на 91 језику на rosettacode.org и на 17 језика на codecodex.com Друге имплементације у C++, C (MacOS), Pascal , Python, Ruby, JavaScript, PHP ,Matlab , MySQL
Категорија:Сферна тригонометрија Категорија:Геодезија Категорија:Растојање