Ортодрома (од — „који трчи равно”) или растојање великог круга, представља најкраћу везу између две тачке на површини сфере (тј. није права линија која пролази кроз унутрашњост кугле, што би била тетива).
Ортодрома је геодезијска линија за специјалан случај површине сфере. Она је увек део великог круга чији се центар поклапа са центром сфере. У ваздухопловству и поморству се обично путује дуж ове линије како би се прешао најкраћи пут, иако то на Меркаторовим картама изгледа као закривљена линија. Због тога је у свакодневном говору чешћи синоним ваздушна линија.
мини|усправно=1.0|Илустрација растојања великог круга (црвено) између тачака P и Q. Приказане су и антиподне тачке u и v. (Извор: енглеска Википедија) мини|усправно=0.7|Ортодрома на Земљиној кугли између Лос Анђелеса и Лондона.
Ограничење дефиниције Ортодрома није јединствено дефинисана ако се дате тачке поклапају или ако леже дијаметрално супротно једна другој на површини сфере (на површини Земље то су антиподне тачке). У случају антиподних тачака, постоји бесконачно много великих кругова који их повезују, а сваки од њих има исту дужину (половина обима сфере).
Прорачун Основа за следеће прорачуне су формуле из сферне тригонометрије. Иако је Земља спљоштена (геоид), за многе примене апроксимација сфером је довољно прецизна (грешка је обично мања од 0,5%).
Коришћене променљивеЗначење Географска ширина Географска дужина Почетна тачка Крајња тачка Северни пол Централни угао (дужина АБ, изражена као угао) Унутрашњи угао троугла АБН код тачке А Унутрашњи угао троугла АБН код тачке Б Курс код тачке А Курс код тачке Б Најсевернија или најјужнија тачка ортодроме (теме) Притом је негативно у правцу запада, а позитивно у правцу истока; је позитивно за ширине на северној хемисфери и негативно на јужној хемисфери.
Удаљеност
Као мера за удаљеност две тачке у сферној геометрији служи припадајући централни угао (са центром сфере као теменом). Овај угао, овде означен са (или у страној литератури), може се израчунати помоћу сферне косинусне теореме:
Ако су дате тачке исте, овом формулом се добија . Ако две тачке леже једна насупрот другој на површини сфере, добија се .
Да би се израчунала дистанца између две тачке, се мора помножити са средњим полупречником Земље (око 6.371 km). За у радијанима: За у степенима:
За мале удаљености, формула са косинусом може бити непрецизна због грешака заокруживања рачунара (када је ). У тим случајевима се често користи Хаверсинусна формула, која је нумерички стабилнија.
Курс и прави курс
Курс (азимут) означава правац кретања и рачуна се од правца севера у смеру казаљке на сату. За прорачун се може користити сферни троугао са теменима А, Б и Северни пол. Нека су и унутрашњи углови овог троугла код А, односно Б.
Оба параметра и могу се одредити и директно из географских ширина и дужина, без претходног израчунавања :
Одређивање квадранта курса За курсеве (почетни) и (крајњи) важи . На основу положаја тачке Б у односу на А, примењују се следећа правила:
Однос положајаКурс код АКурс код ББ источно од А Б западно од А Исти меридијан, Б северно од А Исти меридијан, Б јужно од А
Најсевернија или најјужнија тачка
мини|У гномоничкој пројекцији ортодроме се увек приказују као праве линије (најкраћи пут).
Ортодрома достиже своју највећу (или најмању) географску ширину у тачки која се назива теме (вертекс). У тој тачки ортодрома је тангентна на упоредник, а курс је 90° или 270°.
Северно теме () постоји ако путања прелази преко северне хемисфере на одређени начин. Његове координате се рачунају:
Географска дужина темена зависи од почетног курса:
За јужно теме () важи:
Дужина јужног темена је за 180° померена у односу на северно.
Напомена: Резултати за морају се нормализовати на опсег од -180° до +180°.
Пример прорачуна удаљености Берлин–Токио
Координате: Берлин: Токио:
Угао
У радијанима: .
Удаљеност За сферу обима 40.000 km (радијус km):
Коришћењем прецизнијег WGS84 елипсоида, стварна удаљеност износи 8.941,2 km. Разлика од око 29 km (0,3%) настаје јер је Земља спљоштена на половима, што сферна формула не узима у обзир.
Тачнија формула (Елипсоид) За прецизне навигационе прорачуне (грешка < 50 m) користи се Винсентијева формула или итеративне методе на елипсоиду (нпр. WGS84).
Апроксимативна формула за елипсоид која даје боље резултате од обичне сфере: Параметри Земље: (спљоштеност), km (екваторијални радијус).
Помоћне величине:
Ако се израчунају фактори (као што је наведено у стручној литератури за Винсентијеве формуле), добија се коригована дужина која узима у обзир спљоштеност полова.
Локсодрома vs. Ортодрома мини|лево|Поређење локсодрома (црвено) и ортодрома (плаво) на Меркаторовој карти. Ортодрома изгледа дуже на карти, али је у стварности краћа. мини|Процентуална разлика у дужини између локсодроме и ортодроме на 50. паралели. Ортодрома је најкраћи пут, али захтева сталну промену курса (осим ако се путује тачно по екватору или меридијану). Локсодрома сече све меридијане под истим углом. То значи да пилот или кормилар могу држати константан курс на компасу.
Међутим, локсодрома је увек дужа од ортодроме. На кратким растојањима разлика је занемарљива. На великим растојањима и високим географским ширинама, разлика постаје значајна. На пример, пут од Њујорка до Москве је преко 10% краћи ако се лети ортодромом (преко Гренланда) него локсодромом (пратећи константан курс истока).
Види још Геодезијска линија Сферна геометрија Локсодрома Азимут Хаверсинусна формула
Напомене
Референце
Литература
Спољашње везе Прорачун удаљености за елипсоиде (GeographicLib) ен}} Great Circle Mapper – Интерактивна мапа великих кругова Алат за поређење ортодроме и локсодроме – на OpenStreetMap подлози
Категорија:Математичка географија Категорија:Ваздухопловна навигација Категорија:Сферна астрономија Категорија:Геолокација