Птолемејева неједнакост је теорема еуклидске геометрије која повезује дужине страница и дијагонала произвољног четвороугла. Представља уопштење Птолемејеве теореме, која важи за цикличне четвороуглове. Назив је добила по грчком математичару и астроному Клаудију Птолемеју.
Формулација Нека су , , и четири тачке у еуклидској равни. Тада важи неједнакост
Овде су , , и дужине страница четвороугла, а и дужине његових дијагонала.
Случај једнакости Једнакост
важи ако и само ако све четири тачке припадају истој кружници. У том случају добија се Птолемејева теорема.
Доказ Један од најпознатијих доказа користи комплексне бројеве. За комплексне бројеве који одговарају тачкама , , и важи идентитет
Применом апсолутне вредности и троугаоне неједнакости добија се
што је управо Птолемејева неједнакост.
Птолемејева неједнакост у простору Неједнакост важи и у тродимензионалном еуклидском простору. Ако четири тачке нису копланарне, важи строга неједнакост
Одатле следи да је једнакост могућа само када се све четири тачке налазе у истој равни и на истој кружници.
Примене Птолемејева неједнакост има примену у класичној геометрији, теорији метричких простора и геометријској анализи. Посебно је значајна у проучавању такозваних Птолемејских простора, односно метричких простора у којима ова неједнакост важи за сваке четири тачке.
Историјат Птолемејева неједнакост названа је по Клаудију Птолемеју, грчком математичару, астроному и географу из 2. века. Његова истраживања особина цикличних четвороуглова довела су до формулисања Птолемејеве теореме, из које је касније развијена и општија Птолемејева неједнакост.
Референце
Литература
Apostol, Tom M. Ptolemy's Inequality and the Chordal Metric. Mathematics Magazine, 40(5), 1967. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. Mathematical Association of America, 2009. Steele, J. Michael. The Cauchy–Schwarz Master Class. Cambridge University Press, 2004.
Спољашње везе
Ptolemy's inequality — енглеска Википедија Ptolemy's Theorem — Wolfram MathWorld
Видети још
Птолемејева теорема Циклични четвороугао Еуклидска геометрија Категорија:Геометрија