У алгебарској геометрији и теоријској физици, симетрија огледала је однос између геометријских објеката који се називају многострукости Калаби-Јау. Термин се односи на ситуацију у којој две Калаби-Јау многострукости изгледају веома различито геометријски, али су ипак еквивалентне када се користе као додатне димензије теорије струна.
Ране случајеве симетрије огледала открили су физичари. Математичари су постали заинтересовани за овај однос око 1990. године када су Филип Канделас, Ксенија де ла Оса, Пол Грин и Линда Паркс показали да се може користити као алат у енумеративној геометрији, грани математике која се бави пребројавањем броја решења геометријских питања. Канделас и његови сарадници показали су да се симетрија огледала може користити за пребројавање рационалних кривих на Калаби-Јау многострукости, чиме се решава дугогодишњи проблем. Иако је првобитни приступ симетрији огледала био заснован на физичким идејама које нису биле схваћене на математички прецизан начин, нека од њених математичких предвиђања од тада су строго доказана.
Данас је симетрија огледала главна истраживачка тема у чистој математици, а математичари раде на развоју математичког разумевања односа заснованог на интуицији физичара. Симетрија огледала је такође основни алат за извођење прорачуна у теорији струна, а коришћена је за разумевање аспеката квантне теорије поља, формализма који физичари користе да опишу елементарне честице. Главни приступи симетрији огледала укључују програм хомолошке симетрије огледала Максима Концевича, као и СЈЗ хипотезу Ендруа Строминџера, Шинг-Тунга Јауа и Ерика Заслова и њен алгебарски аналог — Грос-Зиберт програм Марка Гроса и Бернда Зиберта.
Преглед
Струне и компактификација
десно|мини|alt=Таласасти отворени сегмент и затворена петља струне.|Основни објекти теорије струна су отворене и затворене струне. У физици, теорија струна је теоретски оквир у којем су тачкасте честице физике честица замењене једнодимензионалним објектима који се називају струне. Ове струне изгледају као мали сегменти или петље обичне струне. Теорија струна описује како се струне крећу кроз простор и како реагују једне са другима. На скалама удаљености већим од скале струне, струна ће изгледати баш као обична честица, са својом масом, наелектрисањем и другим својствима одређеним вибрационим стањем струне. Цепање и рекомбинација струна одговарају емисији и апсорпцији честица, што доводи до интеракција између честица.За приступачан увод у теорију струна, погледајте .
Постоје значајне разлике између света који описује теорија струна и свакодневног света. У свакодневном животу постоје три познате димензије простора (горе/доле, лево/десно и напред/назад), и постоји једна димензија времена (касније/раније). Стога се, језиком модерне физике, каже да је простор-време четвородимензионално.. Једна од карактеристичних особина теорије струна је да захтева додатне димензије простор-времена за своју математичку конзистентност. У теорији суперструна, верзији теорије која укључује теоријску идеју названу суперсиметрија, постоји шест додатних димензија простор-времена поред четири које су познате из свакодневног искуства..
Један од циљева актуелних истраживања у теорији струна је развој модела у којима струне представљају честице посматране у експериментима физике високих енергија. Да би такав модел био конзистентан са запажањима, његово простор-време мора бити четвородимензионално на релевантним скалама удаљености, тако да се морају тражити начини да се додатне димензије ограниче на мање скале. У већини реалистичних модела физике заснованих на теорији струна, то се постиже процесом који се назива компактификација, у којем се претпоставља да се додатне димензије „затварају” саме у себе формирајући кругове.. У лимиту где ове увијене димензије постају веома мале, добија се теорија у којој простор-време ефективно има мањи број димензија. Стандардна аналогија за ово је разматрање вишедимензионалног објекта као што је баштенско црево. Ако се црево посматра са довољне удаљености, чини се да има само једну димензију, своју дужину. Међутим, како се човек приближава цреву, открива да оно садржи и другу димензију, свој обим. Тако би се мрав који пузи по површини црева кретао у две димензије.Ова аналогија се користи на пример у .
Многострукости Калаби-Јау
десно|мини|alt=Визуелизација комплексне математичке површине са много конволуција и самопресека.|Пресек квинтичне многострукости Калаби-Јау. Компактификација се може користити за конструисање модела у којима је простор-време ефективно четвородимензионално. Међутим, не производи сваки начин компактификације додатних димензија модел са правим својствима за описивање природе. У одрживом моделу физике честица, компактне додатне димензије морају бити у облику многострукости Калаби-Јау. Калаби-Јау многострукост је посебан простор за који се у применама на теорију струна типично претпоставља да је шестодимензионалан. Добио је име по математичарима Еуђенију Калабију и Шинг-Тунгу Јауу..
Након што су многострукости Калаби-Јау ушле у физику као начин за компактификацију додатних димензија, многи физичари су почели да проучавају ове многострукости. Касних 1980-их, Ленс Диксон, Волфганг Лерх, Кумрун Вафа и Ник Ворнер приметили су да с обзиром на такву компактификацију теорије струна, није могуће јединствено реконструисати одговарајућу многострукост Калаби-Јау.; . Уместо тога, две различите верзије теорије струна које се називају теорија струна типа IIА и теорија струна типа IIБ могу се компактификовати на потпуно различитим многострукостима Калаби-Јау, стварајући исту физику. У овој ситуацији, многострукости се називају многострукостима огледала, а однос између две физичке теорије назива се симетрија огледала..
Однос симетрије огледала је посебан пример онога што физичари називају физичком дуалношћу. Генерално, термин физичка дуалност односи се на ситуацију у којој се две наизглед различите физичке теорије испостављају као еквивалентне на нетривијалан начин. Ако се једна теорија може трансформисати тако да изгледа баш као друга теорија, за њих се каже да су дуалне под том трансформацијом. Другачије речено, две теорије су математички различити описи истих феномена.. Такве дуалности играју важну улогу у модерној физици, посебно у теорији струна.
Без обзира на то да ли Калаби-Јау компактификације теорије струна пружају тачан опис природе, постојање дуалности огледала између различитих теорија струна има значајне математичке последице.. Калаби-Јау многострукости које се користе у теорији струна су од интереса за чисту математику, а симетрија огледала омогућава математичарима да реше проблеме у енумеративној алгебарској геометрији, грани математике која се бави пребројавањем броја решења геометријских питања. Класичан проблем енумеративне геометрије је пребројавање рационалних кривих на Калаби-Јау многострукости као што је она илустрована изнад. Применом симетрије огледала, математичари су превели овај проблем у еквивалентан проблем за огледалску многострукост Калаби-Јау, који се испоставио као лакши за решавање..
У физици је симетрија огледала оправдана на физичким основама.. Међутим, математичари углавном захтевају строге доказе који не захтевају позивање на физичку интуицију. Са математичке тачке гледишта, горе описана верзија симетрије огледала је још увек само хипотеза, али постоји друга верзија симетрије огледала у контексту тополошке теорије струна, поједностављене верзије теорије струна коју је увео Едвард Витен,. а коју су математичари строго доказали.; . У контексту тополошке теорије струна, симетрија огледала наводи да су две теорије назване А-модел и Б-модел еквивалентне у смислу да постоји дуалност која их повезује.. Данас је симетрија огледала активна област истраживања у математици, а математичари раде на развоју потпунијег математичког разумевања симетрије огледала заснованог на интуицији физичара..
Историја Идеја о симетрији огледала може се пратити до средине 1980-их када је примећено да је струна која се простире по кругу полупречника физички еквивалентна струни која се простире по кругу полупречника у одговарајућим јединицама мерења.Ово је први пут примећено у и . Овај феномен је данас познат као Т-дуалност и сматра се да је уско повезан са симетријом огледала.. У раду из 1985. године, Филип Канделас, Гари Хоровиц, Ендру Строминџер и Едвард Витен показали су да се компактификацијом теорије струна на Калаби-Јау многострукости добија теорија која је отприлике слична Стандардном моделу физике честица и која такође конзистентно укључује идеју звану суперсиметрија.. Након овог развоја, многи физичари почели су да проучавају компактификације Калаби-Јау многострукости, надајући се да ће конструисати реалистичне моделе физике честица засноване на теорији струна. Кумрун Вафа и други приметили су да, с обзиром на такав физички модел, није могуће јединствено реконструисати одговарајућу Калаби-Јау многострукост. Уместо тога, постоје две Калаби-Јау многострукости које доводе до исте физике.Ово је примећено у и .
Проучавајући однос између Калаби-Јау многострукости и одређених конформних теорија поља названих Гепнеровим моделима, Брајан Грин и Ронен Плесер пронашли су нетривијалне примере односа огледала.; . Даљи докази за овај однос проистекли су из рада Филипа Канделаса, Монике Линкер и Ролфа Ширмригка, који су рачунарски испитали велики број Калаби-Јау многострукости и открили да оне долазе у огледалским паровима.; .
Математичари су постали заинтересовани за симетрију огледала око 1990. године када су физичари Филип Канделас, Ксенија де ла Оса, Пол Грин и Линда Паркс показали да се симетрија огледала може користити за решавање проблема у енумеративној геометрији. који су одолевали решавању деценијама или чак дуже.. Ови резултати представљени су математичарима на конференцији на Истраживачком институту за математичке науке (МСРИ) у Берклију, Калифорнија, у мају 1991. године. Током ове конференције примећено је да се један од бројева који је Канделас израчунао за пребројавање рационалних кривих није поклапао са бројем који су добили норвешки математичари Гејр Елингсруд и Стејн Арилд Строме користећи наизглед строжије технике.. Многи математичари на конференцији претпоставили су да Канделасов рад садржи грешку пошто није био заснован на строгим математичким аргументима. Међутим, након испитивања њиховог решења, Елингсруд и Строме су открили грешку у свом рачунарском коду и, након што су поправили код, добили су одговор који се слагао са оним који су добили Канделас и његови сарадници.
Године 1990. Едвард Витен је увео тополошку теорију струна, поједностављену верзију теорије струна, а физичари су показали да постоји верзија симетрије огледала за тополошку теорију струна.; . Ова изјава о тополошкој теорији струна обично се узима као дефиниција симетрије огледала у математичкој литератури.. У обраћању на Међународном конгресу математичара 1994. године, математичар Максим Концевич представио је нову математичку хипотезу засновану на физичкој идеји симетрије огледала у тополошкој теорији струна. Позната као хомолошка симетрија огледала, ова хипотеза формализује симетрију огледала као еквиваленцију две математичке структуре: изведене категорије кохерентних снопова на Калаби-Јау многострукости и Фукајине категорије њеног огледала..