У математици, одређени системи парцијалних диференцијалних једначина се корисно формулишу, са становишта њихове основне геометријске и алгебарске структуре, преко система диференцијалних форми. Идеја је да се искористи начин на који се диференцијална форма рестригује (ограничава) на подмногострукост, и чињеница да је ова рестрикција компатибилна са спољашњим изводом. Ово је један од могућих приступа одређеним преодређеним системима, на пример, укључујући Лаксове парове интеграбилних система.

Математичка формулација Пфафов систем је одређен само 1-формама, али теорија обухвата и друге врсте примера диференцијалних система. Детаљније, Пфафов систем је скуп 1-форми на глаткој многострукости (које се изједначавају са 0 да би се пронашла решења система).

За дати скуп диференцијалних 1-форми на -димензионалној многострукости , интегрална многострукост је имерзирана (не нужно уложена) подмногострукост чији се тангентни простор у свакој тачки поништава од стране (повлачења) сваке .

Максимална интегрална многострукост је имерзирана (не нужно уложена) подмногострукост

таква да је језгро пресликавања рестрикције на формама

разапето формама у свакој тачки из . Ако су поред тога линеарно независне, тада је димензије ().

За Пфафов систем се каже да је потпуно интеграбилан ако допушта фолијацију максималним интегралним многострукостима. (Напомена: фолијација не мора бити регуларна; тј. листови фолијације не морају бити уложене подмногострукости.)

Услов интеграбилности је услов за који гарантује да ће постојати интегралне подмногострукости довољно велике димензије.

Интуиција десно|мини|Стандардна контактна структура на , дефинисана 1-формом . Због увртања, она је свуда потпуно неинтеграбилна. Пфафов систем је одређен 1-формама. У свакој тачки , скуп 1-форми се може визуелизовати као скуп хиперравни, или контактних елемената, центрираних у тој тачки. Хиперравни се секу, производећи линеарни потпростор локалног тангентног простора . Ово поље линеарних потпростора локално изгледа као инфинитезимални делови максималне интегралне многострукости, али може бити немогуће саставити ове инфинитезималне делове у максималну интегралну многострукост. Делови се могу увртати једни у односу на друге, спречавајући сваки покушај њиховог спајања.

На пример, ако има 3 димензије, тада једна 1-форма производи поље равни, док две 1-форме које су линеарно независне у свакој тачки производе поље правих. Интеграција поља правих је увек могућа, али интеграција поља равни може бити немогућа због „увртања”. Локално, такво неинтеграбилно поље равни изгледа као стандардна контактна структура на , дефинисана 1-формом .

Потребни и довољни услови Потребни и довољни услови за потпуну интеграбилност Пфафовог система дати су Фробенијусовом теоремом. Једна верзија наводи да ако је идеал алгебарски генерисан скупом αi унутар прстена Ω(M) диференцијално затворен, другим речима

онда систем допушта фолијацију максималним интегралним многострукостима. (Обрнуто је очигледно из дефиниција.)

Примери

Интеграбилни регуларни системи За дату регуларну фолијацију, можемо једноставно узети њене диференцијале да бисмо добили интеграбилни регуларни систем. Ранг система је кодимензија фолијације.

Хопфова фибрација је фолијација 3-сфере у кругове, што је регуларна фолијација кодимензије 2.

Интеграбилни сингуларни системи Слично интеграбилним регуларним системима, сингуларна фолијација производи интеграбилни сингуларни систем. На пример, се може фолијати у концентричне кругове са сингуларном тачком у координатном почетку. Ово одговара интеграбилном сингуларном систему

Потпуно неинтеграбилни системи Није сваки Пфафов систем потпуно интеграбилан у Фробенијусовом смислу. На пример, посматрајмо следећу 1-форму :

Ако би dθ било у идеалу генерисаном са θ, имали бисмо, због антикомутативности спољашњег производа

Али директан рачун даје

што је не-нулити умножак стандардне форме запремине на R3. Стога, не постоје дводимензионални листови и систем није потпуно интеграбилан.

С друге стране, за криву дефинисану као

тада је θ дефинисано као горе једнако 0, и самим тим се лако проверава да је крива решење (тј. интегрална крива) за горенаведени Пфафов систем за било коју константу c различиту од нуле.

Генерално, 1-форма на многострукости димензије је потпуно неинтеграбилна ако и само ако свуда. Према Пфафовој теореми, коју је уопштио Дарбу, постоје локалне координате у којима је она облика . Такве структуре су контактне структуре.

Аналогно томе, у парнодимензионалној многострукости, 1-форма на многострукости димензије је потпуно неинтеграбилна ако и само ако свуда. Такве структуре су парно-контактне структуре.

3-сфера може добити контактну структуру ако се посматра као јединична сфера у . Стандардна контактна форма на је: где су координате на .

Делимично интеграбилан систем Неки Пфафови системи немају максималну интеграбилну фолијацију, али исто тако нису ни потпуно неинтеграбилни.

На пример, стандардна контактна структура на , дефинисана 1-формом , потпуно је неинтеграбилна, у смислу да свака њена интегрална многострукост може имати само 1 димензију (оне се називају Лежандровим подмногострукостима). Међутим, ако бисмо је проширили на , тада би могла да има интегралну многострукост од 3 димензије. Ово није најнижа могућа димензија, тако да није ни потпуно интеграбилна нити потпуно неинтеграбилна, што је чини делимично интеграбилном.

У , потпуно интеграбилна 1-форма би имала интегралне многострукости од 4 димензије, а стандардна контактна структура може имати само интегралне многострукости од 2 димензије, што је чини потпуно неинтеграбилном.

Примене У псеудо-Римановој геометрији, можемо разматрати проблем проналажења ортогоналног корепера θi, тј. скупа 1-форми које чине базу котангентног простора у свакој тачки са које су затворене (dθi = 0, за i = 1, 2, ..., n). Према Поенкареовој леми, θi ће локално имати облик dxi за неке функције xi на многострукости, и тиме обезбеђују изометрију отвореног подскупа од M са отвореним подскупом од Rn. Таква многострукост се назива локално равном.

Овај проблем се своди на питање на свежањ корепера од M. Претпоставимо да смо имали такав затворен корепер

Ако бисмо имали још један корепер , онда би та два корепера била повезана ортогоналном трансформацијом

Ако је 1-форма конекције ω, онда имамо

С друге стране,

Али је Маурер-Картанова форма за ортогоналну групу. Стога, она задовољава структурну једначину , а ово је управо кривина од M: Након примене Фробенијусове теореме, закључује се да је многострукост M локално равна ако и само ако њена кривина ишчезава.

Уопштења Постоје многа уопштења услова интеграбилности на диференцијалним системима који нису нужно генерисани 1-формама. Најпознатија од њих су Картан-Келерова теорема, која важи само за реалне аналитичке диференцијалне системе, и Картан-Куранишијева теорема о пролонгацији. Погледајте одељак Литература за детаље. Њулендер-Ниренбергова теорема даје услове интеграбилности за скоро-комплексну структуру.

Референце

Литература

Категорија:Парцијалне диференцијалне једначине Категорија:Диференцијална топологија Категорија:Диференцијални системи