Јанг-Милсова теорија је квантна теорија поља за нуклеарно везивање коју су осмислили Чен Нинг Јанг и Роберт Милс 1953. године, а представља и генерички назив за класу сличних теорија. Јанг-Милсова теорија је гејџ теорија заснована на специјалној унитарној групи , или уопштеније на било којој компактној Лијевој групи. Јанг-Милсова теорија настоји да опише понашање елементарних честица користећи ове неабелове Лијеве групе и налази се у срцу унификације електромагнетне силе и слабе силе (тј. ) као и квантне хромодинамике, теорије јаке силе (засноване на ). Стога она чини основу разумевања Стандардног модела физике честица.
Историја и квалитативни опис Гејџ теорија у електродинамици Све познате фундаменталне интеракције могу се описати у оквиру гејџ теорија, али је за то требало деценија да се разради. Пионирски рад Хермана Вајла на овом пројекту започео је 1915. године када је његова колегиница Еми Нетер доказала да свакој очуваној физичкој величини одговара одређена симетрија, а кулминирао је 1928. године када је објавио књигу у којој примењује геометријску теорију симетрије (теорију група) на квантну механику. Вајл је одговарајућу симетрију у Нетериној теореми назвао „гејџ симетријом” по аналогији са стандардизацијом размака код железничких колосека.
Ервин Шредингер је 1922. године, три године пре рада на својој једначини, повезао Вајлов концепт групе са наелектрисањем електрона. Шредингер је показао да група производи фазни померај у електромагнетним пољима, што се поклапа са очувањем електричног набоја. Како се теорија квантне електродинамике развијала 1930-их и 1940-их, трансформације групе имале су централну улогу. Многи физичари су сматрали да мора постојати аналоган за динамику нуклеона. Чен Нинг Јанг је посебно био заинтересован за ту могућност.
Јанг и Милс проналазе гејџ теорију нуклеарне силе Јангова основна идеја била је да потражи очувану величину у нуклеарној физици, упоредиву са електричним набојем, и да је искористи за развој одговарајуће гејџ теорије налик на електродинамику. Одлучио се за очување изоспина, квантног броја који разликује неутрон од протона, али није напредовао са теоријом. На паузи од Принстона у лето 1953. године, Јанг је упознао сарадника који је могао да му помогне: Роберта Милса. Како сам Милс описује: „Током академске 1953–1954. године, Јанг је био гост Брукхејвенске националне лабораторије ... И ја сам такође био у Брукхејвену ... и додељен му је исти кабинет као и Јангу. Јанг, који је у више наврата показао своју великодушност према физичарима на почетку каријере, рекао ми је о својој идеји генералисања гејџ инваријантности и о томе смо опширно разговарали ... Успео сам да допринесем дискусијама, посебно у вези са поступцима квантизације, и у малој мери у разради формализма; међутим, кључне идеје биле су Јангове.”
У лето 1953. године, Јанг и Милс су проширили концепт гејџ теорије за абелове групе, нпр. квантну електродинамику, на неабелове групе, изабравши групу да би објаснили очување изоспина у сударима који укључују јаке интеракције. Јангово представљање рада на Принстону у фебруару 1954. године оспорио је Паули, питајући за масу у пољу развијеном са идејом гејџ инваријантности. Паули је знао да би то могао бити проблем јер је радио на примени гејџ инваријантности, али је одабрао да то не објави, сматрајући да су безмасене ексцитације теорије „нефизичке ’честице сенке’”. Јанг и Милс су објавили у октобру 1954. године; при крају рада, они признају:
Овај проблем нефизичких безмасених ексцитација блокирао је даљи напредак.
Идеја је остављена по страни све до 1960. године, када је изнет концепт да честице добијају масу кроз спонтано кршење симетрије у безмасеним теоријама, првобитно од стране Џефрија Голдстона, Јоичира Намбуа и Ђованија Ђоне-Ласинија. То је подстакло значајан поновни замах проучавања Јанг-Милсових теорија, што се показало успешним у формулацији како електрослабог уједињења тако и квантне хромодинамике (QCD). Електрослаба интеракција је описана гејџ групом , док је QCD Јанг-Милсова теорија. Безмасени гејџ бозони електрослабог мешају се након спонтаног кршења симетрије да би произвели три масивна бозона слабе интеракције (, и ), као и још увек безмасено фотонско поље. Динамику фотонског поља и његове интеракције са материјом, затим, одређује гејџ теорија квантне електродинамике. Стандардни модел комбинује јаку интеракцију са уједињеном електрослабом интеракцијом (уједињујући слабу и електромагнетну) кроз групу симетрије . У садашњој епоси јака интеракција није уједињена са електрослабом интеракцијом, али се на основу уоченог бежећег понашања константи везивања верује да све оне конвергирају ка јединственој вредности на веома високим енергијама.
Феноменологија на нижим енергијама у квантној хромодинамици није у потпуности схваћена због потешкоћа у управљању таквом теоријом са јаким везивањем. То може бити разлог зашто заточење још увек није теоретски доказано, иако представља конзистентно експериментално запажање. Ово показује зашто је заточење QCD-а на ниским енергијама математички проблем од велике важности и зашто је проблем постојања Јанг-Милсове теорије и масеног јаза један од Миленијумских проблема.
Паралелни рад на неабеловим гејџ теоријама Године 1953, у приватној преписци, Волфганг Паули је формулисао шестодимензионалну теорију Ајнштајнових једначина поља опште релативности, проширујући петодимензионалну теорију Теодора Калуце, Оскара Клајна, Владимира Фока и других на унутрашњи простор виших димензија. Међутим, нема доказа да је Паули развио лагранжијан гејџ поља или његову квантизацију. Пошто је Паули сматрао да његова теорија „води до неких прилично нефизичких честица сенки”, уздржао се од формалног објављивања својих резултата. Иако Паули није објавио своју шестодимензионалну теорију, одржао је два семинарска предавања о њој у Цириху новембра 1953. године.
У јануару 1954. Роналд Шо, постдипломски студент на Универзитету у Кембриџу, такође је развио неабелову гејџ теорију за нуклеарне силе. Међутим, теорија је захтевала безмасене честице да би одржала гејџ инваријантност. Пошто такве безмасене честице у то време нису биле познате, Шо и његов супервизор Абдус Салам одлучили су да не објављују свој рад. Убрзо након што су Јанг и Милс објавили свој рад у октобру 1954. године, Салам је охрабрио Шоа да објави свој рад како би се обележио његов допринос. Шо је то одбио, и уместо тога, то чини само једно поглавље његове докторске тезе објављене 1956. године.
Математички преглед
Јанг-Милсове теорије су специјални примери гејџ теорија са неабеловом групом симетрије датом лагранжијаном
са генераторима Лијеве алгебре, индексираним са , који одговарају -величинама (облик закривљености или јачине поља) задовољавајући
Овде, су структурне константе Лијеве алгебре (потпуно антисиметричне ако су генератори Лијеве алгебре нормализовани тако да је пропорционално са ), коваријантни извод дефинисан је као
је јединична матрица (одговара величини генератора), је векторски потенцијал, а је константа везивања. У четири димензије, константа везивања је чист број, а за групу важи
Релација
може се извести из комутатора
Поље има особину самоинтеракције, а добијене једначине кретања су семилинеарне, јер су нелинеарности присутне и са изводима и без њих. То значи да се овом теоријом може управљати само теоријом пертурбације са малим нелинеарностима.
Приметите да је прелаз између „горњих” („контраваријантних”) и „доњих” („коваријантних”) компоненти вектора или тензора тривијалан за индексе a (нпр. ), док је за μ и ν нетривијалан, одговарајући нпр. уобичајеном Лоренцовом потпису,
Из датог лагранжијана могу се извести једначине кретања дате са
Стављајући оне се могу преписати као
Важи Бјанкијев идентитет
који је еквивалентан Јакобијевом идентитету
пошто је Дефинишимо дуални тензор јачине тада се Бјанкијев идентитет може преписати као
Извор улази у једначине кретања као
Приметите да се струје морају правилно мењати под трансформацијама гејџ групе.
Овде дајемо неке коментаре о физичким димензијама константе везивања. У димензија, поље се скалира као па се и константа везивања мора скалирати као Ово имплицира да Јанг-Милсова теорија није ренормализабилна за димензије веће од четири. Даље, за константа везивања је бездимензиона, а и поље и квадрат константе везивања имају исте димензије као поље и константа везивања безмасене квартне скаларне теорије поља. Стога ове теорије деле инваријантност скале на класичном нивоу.
Квантизација Метод за квантизацију Јанг-Милсове теорије је функционалним методама, тј. интегралима по путањама. Уводи се генеришући функционал за -тачкасте функције као
али овај интеграл нема смисла какав јесте јер се векторски потенцијал може произвољно изабрати због гејџ слободе. Овај проблем је већ био познат за квантну електродинамику, али овде постаје озбиљнији због неабелових својстава гејџ групе. Излаз су дали Лудвиг Фадејев и Виктор Попов увођењем поља духова (погледајте Фадејев-Поповљев дух) које има особину да је нефизичко јер, иако поштује Ферми-Диракову статистику, представља комплексно скаларно поље, што крши теорему о спин-статистици. Дакле, можемо написати генеришући функционал као
где је
за поље,
за фиксирање гејџа и
за духа. Ово је израз који се обично користи за извођење Фајнманових правила (погледајте Фајнманов дијаграм). Овде имамо за поље духа, док фиксира избор гејџа за квантизацију. Фајнманова правила добијена из овог функционала су следећа
Дијаграм Фајнманово правило у простору импулса thumb|Глуонски пропагаторГлуонски пропагатор thumb|Три-глуонски вертекс3-глуонски вертекс thumb|Четири-глуонски вертекс4-глуонски вертекс thumb|Пропагатор духаПропагатор духа thumb|Дух-дух-глуонДух--дух--глуон (ддг) вертекс
Ова правила за Фајнманове дијаграме могу се добити када се горњи генеришући функционал препише као
са
као генеришућим функционалом слободне теорије. Развојем по и рачунањем функционалних извода, можемо добити све -тачкасте функције теоријом пертурбације. Коришћењем ЛСЗ редукционе формуле из -тачкастих функција добијамо одговарајуће амплитуде процеса, попречне пресеке и ширине распада. Теорија је ренормализабилна и корекције су коначне у било ком реду теорије пертурбације.
За квантну електродинамику поље духа се раздваја јер је гејџ група абелова. То се може видети из члана везивања између гејџ поља и поља духа, који је У абеловом случају све структурне константе су нула, тако да нема везивања. У неабеловом случају, поље духа се појављује као користан начин да се квантна теорија поља препише без физичких последица на опсервабле теорије, као што су попречни пресеци или ширине распада.
Један од најважнијих резултата добијених за Јанг-Милсову теорију је асимптотска слобода. Овај резултат се може добити претпоставком да је константа везивања мала (дакле мале нелинеарности), као на високим енергијама, и применом теорије пертурбације. Важност овог резултата је због чињенице да Јанг-Милсова теорија која описује јаку интеракцију и асимптотску слободу омогућава исправно третирање експерименталних резултата који потичу из дубоко нееластичног расејања.