мини|Жан ле Рон д'Аламбер (1717—1783) десно|мини|Из експеримената је познато да увек постоји – осим у случају суперфлуидности – сила отпора за тело постављено у сталан ток флуида. Слика приказује коефицијент отпора Cd за сферу као функцију Рејнолдсовог броја Re, добијену из лабораторијских експеримената. Тамна линија је за сферу са глатком површином, док је светлија линија за случај храпаве површине. Бројеви дуж линије означавају неколико режима тока и повезане промене у коефицијенту отпора: •2: припојени ток (Стоксов ток) и стални одвојени ток, •3: одвојени нестални ток, који има ламинарни гранични слој узводно од одвајања, и производи вртложни траг, •4: одвојени нестални ток са ламинарним граничним слојем на узводној страни, пре одвајања тока, са хаотичним турбулентним трагом низводно од сфере, •5: посткритични одвојени ток, са турбулентним граничним слојем.
У динамици флуида, Д'Аламберов парадокс (или хидродинамички парадокс) је парадокс који је 1752. године открио француски математичар Жан ле Рон д'Аламбер.Jean le Rond d'Alembert (1752). Д'Аламбер је доказао да је — за нестишљив и невискозни ток (идеални флуид) који представља потенцијални ток — сила отпора једнака нули на телу које се креће константном брзином у односу на (и истовремено кроз) флуид.Grimberg, Pauls & Frisch (2008). Нулти отпор је у директној супротности са опажањем значајног отпора на телима која се крећу у односу на флуид и истовремено кроз њега, као што су ваздух и вода; посебно при великим брзинама које одговарају високим Рејнолдсовим бројевима. То је посебан пример парадокса реверзибилности.Falkovich (2011),
Д'Аламбер, радећи на наградном проблему Берлинске академије из 1749. године о отпору тока, закључио је: Физички парадокс указује на недостатке у теорији.
Механику флуида су инжењери стога од самог почетка дискредитовали, што је резултирало несрећним расколом — између области хидраулике, која је посматрала појаве које се нису могле објаснити, и теоријске механике флуида која је објашњавала појаве које се нису могле посматрати — према речима добитника Нобелове награде за хемију сера Сирила Хиншелвуда. Извештај са конференције.
Према научном консензусу, до појаве парадокса долази због занемаривања ефеката вискозности. Упоредо са научним експериментима, током 19. века дошло је до огромног напретка у теорији трења вискозних флуида. У вези са парадоксом, ово је кулминирало открићем и описом танких граничних слојева од стране Лудвига Прантла 1904. године. Чак и при веома високим Рејнолдсовим бројевима, танки гранични слојеви опстају као резултат вискозних сила. Ове вискозне силе изазивају отпор трења на аеродинамичним објектима, а за тупа тела додатни резултат је одвајање тока и траг ниског притиска иза објекта, што доводи до отпора облика.Landau & Lifshitz (1987), Batchelor (2000), , стр. XIX–XXIII.
Опште гледиште у заједници механике флуида је да је, са практичне тачке гледишта, парадокс решен на начин који је предложио Прантл.Stewartson (1981)., Vol. 2, §41–5: The limit of zero viscosity, Формални математички доказ недостаје, и тешко га је пружити, као и у многим другим проблемима тока флуида који укључују Навје-Стоксове једначине (које се користе за описивање вискозног тока).
Вискозно трење: Сен-Венан, Навје и Стокс
Прве кораке ка решавању парадокса направио је Адемар Баре де Сен-Венан, који је моделовао трење вискозног флуида. Сен-Венан је 1847. године навео:
Убрзо затим, 1851. године, Џорџ Габријел Стокс је израчунао отпор на сфери у Стоксовом току, што је познато као Стоксов закон.. Штампано поново у: Стоксов ток је граница ниског Рејнолдсовог броја Навје-Стоксових једначина које описују кретање вискозне течности.Једначине Стоксовог тока имају решење за ток око сфере, али не и за ток око кружног цилиндра. Ово је због занемаривања конвективног убрзања у Стоксовом току. Конвективно убрзање доминира над вискозним ефектима далеко од цилиндра (Batchelor, 2000, стр. 245). Решење се може наћи када се узме у обзир конвективно убрзање, на пример коришћењем Осенових једначина (Batchelor, 2000, стр. 245–246).
Међутим, када се проблем тока постави у бездимензионални облик, вискозне Навје-Стоксове једначине конвергирају са повећањем Рејнолдсових бројева ка невискозним Ојлеровим једначинама, што сугерише да би ток требало да конвергира ка невискозним решењима теорије потенцијалног тока — која имају нулти отпор Д'Аламберовог парадокса. За ово нису пронађени докази у експерименталним мерењима отпора и визуелизацијама тока.Batchelor (2000), стр. 337–343 и табле. У другој половини 19. века ово је поново покренуло питања о применљивости механике флуида.
Невискозни одвојени ток: Кирхоф и Рејли
мини|десно|300px|Стални и одвојени нестишљиви потенцијални ток око плоче у две димензије,Batchelor (2000), стр. 499, једн. (6.13.12). са константним притиском дуж две слободне струјне линије које се одвајају од ивица плоче.
У другој половини 19. века, фокус се поново померио ка коришћењу теорије невискозног тока за опис отпора флуида — уз претпоставку да вискозност постаје мање важна при високим Рејнолдсовим бројевима. Модел који су предложили Густав Кирхоф и Рејли. Штампано поново у: Scientific Papers 1:287–296. био је заснован на теорији слободних струјних линија Хелмхолца. Штампано поново у: Philosophical Magazine (1868) 36:337–346. и састоји се од сталног трага иза тела. Претпоставке примењене на регион трага укључују: брзине тока једнаке брзини тела и константан притисак. Овај регион трага одвојен је од потенцијалног тока изван тела и трага вртложним плочама са дисконтинуалним скоковима у тангенцијалној брзини дуж интерфејса.Batchelor (2000), Да би отпор на телу био различит од нуле, регион трага мора да се протеже до бесконачности. Овај услов је заиста испуњен за Кирхофов ток нормалан на плочу. Теорија исправно наводи да је сила отпора пропорционална квадрату брзине. У првом тренутку, теорија се могла применити само на токове који се одвајају на оштрим ивицама. Касније, 1907. године, Тулио Леви-Чивита ју је проширио на токове који се одвајају од глатке закривљене границе.
Било је одмах јасно да такви стални токови нису стабилни, јер вртложне плоче развијају Келвин-Хелмхолцове нестабилности. Али овај модел сталног тока даље је проучаван у нади да би ипак могао дати разумну процену отпора. Рејли пита „... да ли на прорачуне отпора материјално утиче ова околност јер притисци који се доживљавају морају бити скоро независни од онога што се дешава на некој удаљености иза препреке, где би нестабилност почела прво да се манифестује.”
Међутим, појавиле су се фундаменталне примедбе против овог приступа: Келвин је приметио да, ако се плоча креће константном брзином кроз флуид (који мирује далеко од плоче, осим у трагу), брзина у трагу је једнака брзини плоче. Бесконачно пространство трага — које се шири са удаљеношћу од плоче, како се добија из теорије — резултира бесконачном кинетичком енергијом у трагу, што се мора одбацити из физичких разлога. Штампано поново у: Mathematical and Physical Papers 4: 215–230. Штавише, уочене разлике у притиску између предњег и задњег дела плоче, као и резултујуће силе отпора, много су веће него што је предвиђено: за равну плочу нормалну на ток, предвиђени коефицијент отпора је CD=0,88, док се у експериментима налази CD=2,0. Ово је углавном због усисавања на страни трага плоче, индукованог несталним током у стварном трагу (насупрот теорији која претпоставља константну брзину тока једнаку брзини плоче).Batchelor (2000),
Стога је утврђено да је ова теорија незадовољавајућа као објашњење отпора на телу које се креће кроз флуид. Иако се може применити на кавитационе токове где се, уместо трага испуњеног флуидом, претпоставља да иза тела постоји вакуумска шупљина.Batchelor (2000),
Танки гранични слојеви: Прантл мини|десно|300px|Расподела притиска за ток око кружног цилиндра. Испрекидана плава линија је расподела притиска према теорији потенцијалног тока, што резултира Д'Аламберовим парадоксом. Пуна плава линија је средња расподела притиска како је утврђено у експериментима при високим Рејнолдсовим бројевима. Притисак је радијална удаљеност од површине цилиндра; позитиван притисак (натпритисак) је унутар цилиндра, према центру, док је негативан притисак (потпритисак) нацртан изван цилиндра.
Немачки физичар Лудвиг Прантл сугерисао је 1904. године да би ефекти танког вискозног граничног слоја могли бити извор значајног отпора.Prandtl (1904). Прантл је изнео идеју да, при великим брзинама и високим Рејнолдсовим бројевима, гранични услов без клизања изазива снажну промену брзина тока преко танког слоја у близини зида тела. Ово доводи до стварања вртложности и вискозне дисипације кинетичке енергије у граничном слоју. Дисипација енергије, која недостаје у невискозним теоријама, резултира одвајањем тока код тупих тела. Низак притисак у региону трага узрокује отпор облика, и он може бити већи од отпора трења услед вискозног смицајног напона на зиду.
Доказ да се Прантлов сценарио јавља код тупих тела у токовима високих Рејнолдсових бројева може се видети у импулсивно покренутим токовима око цилиндра. У почетку ток подсећа на потенцијални ток, након чега се ток одваја у близини задње стагнационе тачке. Након тога, тачке одвајања се померају узводно, што резултира регионом ниског притиска одвојеног тока.
Прантл је поставио хипотезу да су вискозни ефекти важни у танким слојевима — названим гранични слојеви — уз чврсте границе, и да вискозност нема значајну улогу изван њих. Дебљина граничног слоја постаје мања када се вискозност смањује. Пун проблем вискозног тока, описан нелинеарним Навје-Стоксовим једначинама, генерално није математички решив. Међутим, користећи своју хипотезу (и поткрепљен експериментима), Прантл је успео да изведе приближан модел за ток унутар граничног слоја, назван теорија граничног слоја; док се ток изван граничног слоја могао третирати коришћењем теорије невискозног тока. Теорија граничног слоја подложна је методу усклађених асимптотских експанзија за извођење приближних решења. У најједноставнијем случају равне плоче паралелне са долазним током, теорија граничног слоја резултира (трењем) отпором, док ће све теорије невискозног тока предвидети нулти отпор. Што је важно за аеронаутику, Прантлова теорија може се применити директно на аеродинамична тела попут аеропрофила где, поред отпора површинског трења, постоји и отпор облика. Отпор облика настаје због ефекта граничног слоја и танког трага на расподелу притиска око аеропрофила.Batchelor (2000) стр. 302–314 & 331–337.
Отворена питања
Проверити, као што је Прантл предложио, да занемарљиво мали узрок (занемарљиво мала вискозност за повећање Рејнолдсовог броја) има велики ефекат — значајан отпор — може бити веома тешко.
Математичар Гарет Биркхоф у уводном поглављу своје књиге Hydrodynamics (Хидродинамика) из 1950. године,Garrett Birkhoff, Hydrodynamics: a study in logic, fact, and similitude, Princeton University Press, 1950 бави се низом парадокса механике флуида (укључујући Д'Аламберов парадокс) и изражава јасну сумњу у њихова званична разрешења: „Штавише, мислим да је приписивање свих њих занемаривању вискозности неоправдано поједностављивање. Корен лежи дубље, у недостатку управо оне дедуктивне строгости чију важност физичари и инжењери тако често минимизирају.”Birkhoff (1950) Конкретно, у вези са Д'Аламберовим парадоксом, он разматра још један могући пут за стварање отпора: нестабилност решења потенцијалног тока за Ојлерове једначине. Биркхоф наводи: „У сваком случају, претходни пасуси јасно показују да је теорија невискозних токова некомплетна. Заиста, размишљање које води до концепта 'сталног тока' је неубедљиво; нема ригорозног оправдања за елиминацију времена као независне променљиве. Дакле, иако су Дирихлеови токови (потенцијална решења) и други стални токови математички могући, нема разлога да се претпостави да је било који стални ток стабилан.”Birkhoff (1950)
У својој рецензији из 1951. године Биркхофове књиге, математичар Џејмс Џ. Стокер оштро критикује прво поглавље књиге: