мини | десно | alt=Калаби-Јау многострукост | Визуелизација Калаби-Јау многострукости, централног објекта у теорији хомолошке симетрије огледала Хомолошка симетрија огледала је математичка претпоставка коју је поставио Максим Концевич. Она тражи систематско математичко објашњење за феномен назван симетрија огледала који су први приметили физичари проучавајући теорију струна.
Историја
У обраћању на Међународном конгресу математичара у Цириху 1994. године, је спекулисао да се симетрија огледала за пар Калаби-Јау многострукости X и Y може објаснити као еквиваленција триангулисане категорије конструисане из алгебарске геометрије од X (изведена категорија кохерентних снопова на X) и друге триангулисане категорије конструисане из симплектичке геометрије од Y (изведена Фукајина категорија).
Едвард Витен је првобитно описао тополошко увртање суперсиметричне теорије поља N=(2,2) у оно што је назвао тополошким теоријама струна А и Б модела. Ови модели се тичу пресликавања са Риманових површина у фиксну мету — обично Калаби-Јау многострукост. Већина математичких предвиђања симетрије огледала уграђена је у физичку еквиваленцију А-модела на Y са Б-моделом на његовом огледалу X. Када Риманове површине имају празну границу, оне представљају светске површи затворених струна. Да би се покрио случај отворених струна, морају се увести гранични услови како би се очувала суперсиметрија. У А-моделу, ови гранични услови долазе у облику Лагранжових подмногострукости од Y са неком додатном структуром (која се често назива структура бране). У Б-моделу, гранични услови долазе у облику холоморфних (или алгебарских) подмногострукости од X са холоморфним (или алгебарским) векторским сноповима на њима. То су објекти који се користе за изградњу релевантних категорија. Они се често називају А и Б бранама. Морфизми у категоријама дати су спектром отворених струна без масе које се протежу између две бране.
Затворене струне А и Б модела обухватају само тополошки сектор — мали део пуне теорије струна. Слично томе, бране у овим моделима су само тополошке апроксимације пуних динамичких објеката који су Д-бране. И поред тога, математика која произилази из овог малог дела теорије струна била је изузетно дубока и тешка.
Школа математике на Институту за напредна истраживања у Принстону посветила је целу годину хомолошкој симетрији огледала током академске 2016–2017. године. Међу учесницима су били Пол Зајдел са МИТ-а, Максим Концевич са ИХЕС-а и Денис Оро са Универзитета Калифорније у Берклију.Школа математике ИАС-а: Специјална година хомолошке симетрије огледала
Примери Само у неколико примера математичари су успели да докажу ову хипотезу. У свом значајном обраћању, Концевич је прокоментарисао да би се хипотеза могла доказати у случају елиптичких кривих користећи тета функције. Пратећи овај пут, Александар Полишчук и Ерик Заслов су пружили доказ једне верзије ове хипотезе за елиптичке криве. Кенџи Фукаја је успео да успостави елементе хипотезе за Абелове варијетете. Касније су Концевич и Јан Сојбелман пружили доказ већег дела хипотезе за несингуларна раслојења торуса преко афиних многострукости користећи идеје из СИЗ претпоставке. Године 2003, Пол Зајдел је доказао хипотезу у случају квартичне површине. Године 2002. су објаснили СИЗ претпоставку у контексту Хичиновог система и Ланглендсове дуалности.
Хоџов дијамант Димензије hp,q простора хармонијских (p,q)-диференцијалних форми (еквивалентно, кохомологија, тј. затворене форме по модулу тачних форми) се конвенционално распоређују у облик дијаманта који се назива Хоџов дијамант. Ови (p,q)-Бетијеви бројеви се могу израчунати за комплетне пресеке коришћењем функције генератора коју је описао Фридрих Хирцебрух. За тродимензионалну многострукост, на пример, Хоџов дијамант има p и q који узимају вредности од 0 до 3:
Симетрија огледала преводи димензију (p, q)-те диференцијалне форме hp,q оригиналне многострукости у hn-p,q за њен пар огледала. Наиме, за сваку Калаби-Јау многострукост Хоџов дијамант остаје непромењен при ротацији за π радијана, а Хоџови дијаманти Калаби-Јау многострукости у симетрији огледала су повезани ротацијом за π/2 радијана.
У случају елиптичке криве, која се посматра као 1-димензионална Калаби-Јау многострукост, Хоџов дијамант је посебно једноставан: то је следећа слика.
У случају К3 површине, која се посматра као 2-димензионална Калаби-Јау многострукост, пошто су Бетијеви бројеви {1, 0, 22, 0, 1}, њихов Хоџов дијамант је следећа слика.
У 3-димензионалном случају, који се обично назива Калаби-Јау многострукост, дешава се нешто веома занимљиво. Понекад постоје парови огледала, рецимо M и W, који имају симетричне Хоџове дијаманте један у односу на други дуж дијагоналне линије.
Дијамант за M:
Дијамант за W:
M и W одговарају А- и Б-моделима у теорији струна. Симетрија огледала не само да замењује хомолошке димензије, већ и симплектичку структуру и комплексну структуру на паровима огледала. То је порекло хомолошке симетрије огледала.
Године 1990–1991, су имали велики утицај не само на енумеративну алгебарску геометрију, већ и на целокупну математику и мотивисали су рад који је објавио . Пар огледала две квинтичне трострукости у овом раду има следеће Хоџове дијаманте.
Види још Претпоставка симетрије огледала — чланак више заснован на математици Тополошка квантна теорија поља Теорија категорија Флоерова хомологија Фукајина категорија Изведена категорија Квинтична трострукост
Референце
Литература
Категорија:Диференцијална геометрија Категорија:Конјектуре Категорија:Симетрија