У диференціальній геометрії кривих рулета — різновид кривої, що узагальнює циклоїди, епіциклоїди, гіпоциклоїди, трохоїди, епітрохоїди, гіпотрохоїди та евольвенти. Загалом, це лінія, прокреслена точкою кривої під час котіння без ковзання по іншій кривій.
Визначення
Неформальне визначення
Грубо кажучи, рулета — це лінія, яку описує точка (звана твірною точкою, генератором або полюсом), яка лежить на заданій кривій, коли ця крива котиться без ковзання уздовж іншої, нерухомої, заданої кривої. Точніше, задану криву прикріплено до площини, яка рухається так, що крива котиться, не ковзаючи, вздовж іншої заданої кривої, прикріпленої до нерухомої площини, яка займає той самий простір, при цьому точка рухомої площини описує у фіксованій площині криву, яку називають рулетою.
Особливі випадки та пов'язані з ними поняття У випадку, коли рухома крива є прямою, а твірною є точка на ній, рулету називають евольвентою нерухомої кривої. Якщо рухома крива є колом, а фіксована крива — прямою, то рулету називають трохоїдою. Якщо в цьому випадку точка лежить на колі, то рулета є циклоїдою.
Спорідненим поняттям є — лінія, яку описує точка кривої, коли вона ковзає вздовж двох (або більше) заданих кривих.
Формальне визначення Формально кажучи, криві повинні бути диференційовними на евклідовій площині. Нерухома крива залишається незмінною; рухома крива зазнає такого неперервного конгруентного перетворення, що в будь-який момент криві є дотичними в точці контакту, яка рухається з однаковою швидкістю вздовж кожної з них (іншим способом вираження цього обмеження є те, що точка контакту двох кривих є миттєвим центром обертання перетворення конгруентності). Рулета формується як геометричне місце твірної точки, яка зазнає такого ж набору перетворень конгруентності.
Моделюючи початкові криві як криві в комплексній площині, нехай — дві природні параметризації рухомої ( та нерухомої кривих, таких, що , і для всіх . Тоді рулета для твірної точки , коли котиться по задається відображенням:
Узагальнення Якщо замість однієї точки, прикріпленої до рухомої кривої, уздовж рухомої площини переноситься інша задана крива, утворюється сімейство конгруентних кривих. Обвідну цього сімейства також можна назвати рулетою.
Звичайно, можна уявити рулети у вищих вимірах, але при цьому доведеться зважати не лише на дотикання.
Приклад Якщо нерухома крива — ланцюгова лінія, а рухома крива — пряма, маємо:
Параметризацію лінії вибирають так, щоб
Застосовуючи наведену вище формулу, маємо:
Якщо p = −i, то вираз має сталу уявну частину (а саме −i), а рулета є горизонтальною лінією. Цікавим застосуванням цього є те, що квадратне колесо може котитися, не підстрибуючи, дорогою, яку утворено серією ланцюгових ліній.
Список рулет Нерухома криваРухома криваТвірна точкаРулетаБудь-яка криваПрямаТочка прямоїЕвольвента кривоїПрямаБудь-якаБудь-якаЦиклогонПрямаКолоБудь-якаТрохоїдаПрямаКолоТочка колаЦиклоїдаПрямаКонічний перетинЦентр конікиРулета Штурма"Sturm's roulette" on www.mathcurve.comПрямаКонічний перетинФокус конікиРулета Делоне"Delaunay's roulette" on www.mathcurve.comПрямаПараболаФокус параболиЛанцюгова лінія"Delaunay's roulette" on www.2dcurves.comПрямаЕліпсФокус еліпсаЕліптична ланцюгова лініяПрямаГіперболаФокус гіперболиГіперболічна ланцюгова лініяПрямаРівнобічна гіперболаЦентр гіперболиРівнобічна крива пружного деформуванняПрямаЦентрЕліпс"Roulette with straight fixed curve" on www.mathcurve.com КолоКолоБудь-яка"Centered trochoid" on mathcurve.comЗовнішній бік колаКолоБудь-якаЕпітрохоїдаЗовнішній бік колаКолоТочка колаЕпіциклоїдаЗовнішній бік колаКоло такого ж радіусаБудь-якаРавлик ПаскаляЗовнішній бік колаКоло такого ж радіусаТочка колаКардіоїдаЗовнішній бік колаКоло половинного радіусаТочка колаВнутрішній бік колаКолоБудь-якаГіпотрохоїдаВнутрішній бік колаКолоТочка колаГіпоциклоїдаВнутрішній бік колаКоло втричі меншого радіусаТочка колаДельтоїдаВнутрішній бік колаКоло вчетверо меншого радіусаТочка колаАстроїдаПараболаРівна парабола, параметризована в протилежному напрямкуВершина параболиЦисоїда ДіоклаЛанцюгова лініяПрямаДив. приклад вищеПряма
Див. також Зубчасте колесо Геометричне місце точок Принцип суперпозиції Спірограф
Примітки
Посилання (1890) «Примітки про рулети та ковзові криві» з історичних математичних монографій Корнелльського університету, спочатку опублікованих Deighton, Bell & Co.
Рулета на 2dcurves.com Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen