Епіциклоїда

Епіцикло́їда (від  — на, над, при і κυκλος — коло) — плоска крива, що утворюється фіксованою точкою кола, яке котиться без ковзання по зовнішній стороні іншого нерухомого кола.

Рухоме коло називається твірним, нерухоме коло — напрямним.

Початковою точкою епіциклоїди називається така її точка , що лежить на прямій, яка проходить через центр рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від , що і точка опори. Початкові точки є каспами (простими точками звороту) епіциклоїди. Початкові точки епіциклоїди лежать на напрямному колі і збігаються з точками опори твірного кола.

Вершиною епіциклоїди називається така її точка , що лежить на прямій, яка проходить через центр рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від .

Будь-яка епіциклоїда має однакову кількість вершин і каспів.

Епіциклоїда є окремим випадком епітрохоїди а також рулети — кривої, що отримана як траекторія точки деякої кривої, що котиться без ковзання по іншій нерухомій кривій.

Рівняння Якщо центр нерухомого кола знаходиться в початку координат, його радіус дорівнює , а радіус кола, що котиться по ньому дорівнює , то епіциклоїда описується параметричними рівняннями відносно :

При цьому початкова точка епіциклоїди, її касп, з якого починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі .

Кут  — параметр, а саме — це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі .

Параметричне рівняння повернутої відносно початку координат епіциклоїди має вигляд:

При цьому епіциклоїда повернута відносно початку координат проти годинникової стрілки на кут (тобто кут між відрізком, що з'єднує початкову точку епіциклоїди (її касп, з якого починається утворення кривої) з початком координат, та віссю дорівнює .

Можна ввести величину , тоді параметричні рівняння звичайної (неповернутої) епіциклоїди приймуть вигляд:

Величина визначає форму епіциклоїди (див. нижче).

Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі: Epicycloids and Blaschke products by Chunlei Cao, Alastair Fletcher, Zhuan Ye

де кут ; радіус твірного (рухомого) кола ; радіус напрямного (нерухомого) кола .

для епіциклоїди має вигляд:

де ,  — радіус кривини епіциклоїди в певній точці;  — довжина дуги епіциклоїди від її початку до цієї точки.

Це рівняння виражає наступну властивість епіциклоїди: Якщо дуга епіциклоїди котиться без ковзання по прямій , то центр кривини точки дотику рухається по еліпсу; центр останнього лежить в тій точці прямої , через яку прокочується вершина епіциклоїди; одна з напіввісей збігається з прямою і по довжині дорівнює половині арки епіциклоїди, а саме: . Друга напіввісь є радіусом кривини в вершині і дорівнює: .

Властивості та особливості форми Будь-яка епіциклоїда лежить в круговому кільці, обмеженому колами з радіусами та . На першому з них лежать каспи, а на другому — вершини епіциклоїди. При повороті навколо початку координат (центру нерухомого кола) на кут, кратний , епіциклоїда суміщається сама з собою. Якщо  — натуральне число, то епіциклоїда є замкненою алгебричною кривою порядку; Крива складається з конгруентних арок, а отже, має вершин та каспів (тобто точок зворотів). Точок самоперетину не має.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить повних обертів навколо свого центру. Якщо  — раціональне число, виражене у вигляді нескоротного дроба, то епіциклоїда є замкненою алгебричною кривою порядку; Крива складається з конгруентних арок, а отже, має вершин та каспів. Крива має точок самоперетину.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить повних обертів навколо свого центру.

Якщо  — ірраціональне число, то епіциклоїда є незамкненою кривою, та має нескінченну кількість арок, вершин та каспів. Епіциклоїда має однакову кількість вершин та каспів; Будь-яка епіциклоїда з радіусами нерухомого та рухомого кіл та тотожна з гіпоциклоїдою (точніше гіпоциклоїдою, що належить до типу перициклоїд) з радіусами нерухомого та рухомого кіл та . Властивість нормалі та дотичної Нормаль, що проведена через будь-яку точку епіциклоїди, проходить через відповідну точку дотику твірного (рухомого) та напрямного (нерухомого) кіл. Дотична до епіциклоїди в деякій її точці , проходить через точку напрямного кола, діаметрально протилежну до точки .

Метричні характеристики Довжина дуги епіциклоїди між точками, що відповідають полярним кутам :

Зокрема, довжина дуги однієї повної арки епіциклоїди дорівнює:

Якщо  — натуральне число, то довжина всієї епіциклоїди:

Площа сектора епіциклоїди між точками, що відповідають полярним кутам :

Площа сектора, що описується полярним радіусом епіциклоїди, коли точка пробігає одну її арку:

Площа відповідного сектора напрямного (нерухомого) круга: .

Таким чином, площа фігури, що обмежена однією аркою епіциклоїди та відповідною дугою напрямного кола, дорівнює

Якщо  — натуральне число, то площа фігури, що обмежена повною епіциклоїдою:

Це означає, що фігура, обмежена епіциклоїдою в разів більша за площею, від площі напрямного круга.

Радіус кривини будь-якої епіциклоїди в деякій її точці , що відповідає полярному куту :

Цю формулу можна записати у вигляді:

де  — відрізок, що сполучає точку епіциклоїди і точку опори твірного кола.

В точках звороту епіциклоїди радіус кривини дорівнює В вершинах епіциклоїди радіус кривини дорівнює Епіциклоїда та її еволюта подібні.Epicycloid Evolute - from Wolfram MathWorld

Відношення подібності складає Еволюта має той же центр, що і початкова епіциклоїда. Вершини еволюти збігаються з каспами початкової кривої. Отже, еволюту можна отримати, повернувши дану епіциклоїду на кут , а потім відповідно маштабувавши її.

Окремі випадки Окремим випадком епіциклоїди є кардіоїда (епіциклоїда з одним каспом) та нефроїда (епіциклоїда з двома каспами).

Граничні випадки епіциклоїди: Якщо радіус напрямного кола прямує до нескінченності (), крива стає циклоїдою з тим же радіусом твірного кола. Якщо радіус твірного кола прямує до нескінченности (), твірне коло стає прямою, що котиться по нерухомому колу, а отримана крива, що описується фіксованою точкою цієї прямої, є евольвентою кола.

Див. також Рулета Список періодичних функцій

Примітки

Література

Посилання

Epicycloid , MathWorld

Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET Епіциклоїда на сайті Mathcurve , 2017 Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids Spirograph -- GeoFun Historical note on the application of the epicycloid to the form of Gear Teeth