У математиці функцією Гаусса (на ім‘я Карла Фрідріха Гаусса) є функція, що виражається залежністю

для дійсних чисел константа a > 0, b, c > 0, і e ≈ 2,718281828 (число Ейлера).

Графік функції Гаусса є характерною симетричною кривою у формі дзвону, що швидко спадає на нескінченності. Параметр a є висотою піку кривої, b є позицією центру, і c контролює ширину «дзвону».

Функцію Гаусса широко вживають в: Статистиці, де вона описує нормальний розподіл; Обробці сигналу, де нею розраховують фільтри Гаусса, в обробці зображень, де двовимірний гаусіан використовується для гаусового розмивання; Фізиці, де функцію вживано для розв'язку рівняння теплопровідності і рівняння дифузії; Математиці, щоб означити .

Властивості Гауссова функція виникає, коли діють експоненційною функцією на квадратичну функцію. Гауссова функція є такою, що її логарифм дає квадратичну функцію.

Через параметр c можна виразити ширину піку (FWHM) на половині його висоти згідно з формулою:

Гауссова функція є аналітичною, і її границя при x → ±∞ є 0.

Похідна гаусової функції будь-якого порядку дорівнює добутку самої гаусової функції на поліном. Для

-та похідна має вигляд

де — поліном Ерміта -го степеня у ймовірнісному означенні. Зокрема, друга похідна гаусової функції має форму вейвлета Рікера.

Визначений інтеграл від гауссової функції дає функцію помилок

Визначений інтеграл з нескінченними границями має властивість

Цей інтеграл рівний 1 тоді і тільки тоді, коли a = 1/(c√(2π)), і в цьому випадку гаусіан є щільністю нормального розподілу випадкової величини з математичним очікуванням μ = b і дисперсією σ2 = c2.

При перетворенні Фур'є функції Гаусса з параметрами a, b = 0 і c отримуємо іншу функцію Гаусса, з параметрами ac, b = 0 і 1/c. Отже, як частковий випадок, функція Гаусса з b = 0 і c = 1 є інваріантом щодо перетворення Фур'є (вони є власними функціями перетворення Фур'є з власним значенням 1).

Згортка двох гаусіанів є також гаусіаном, із відхиленням c, що рівне середньому квадратичному відхилень тих двох гаусіанів, .

Двовимірна функція Гаусса

Частковим прикладом формули двовимірної функції Гаусса є

Тут коефіцієнт A називається амплітудою, xo,yo визначає центр і σx, σy визначають «силу розмиття» в напрямку x і y. Фігура ліворуч утворена при A = 1, xo = 0, yo = 0, σx = σy = 1.

Загалом двовимірна гаусова функція описується як

Де матриця

є додатно визначеною.

Використовуючи це формулювання, графік ліворуч може бути побудований при параметрах: A = 1, (xo, yo) = (0, 0), a = c = 1, b = 0.

Див. також Список інтегралів Гауссівських функцій Дискретне гауссове ядро Нормальний розподіл

Література

Посилання Mathworld, Gaussian Function