Матриця повороту — матриця переходу, яка зв'язує між собою координати векторів векторного простору при зміні системи координат.
В новій системі координат вектор переходить у вектор Між новими та старими координатами існує лінійний зв'язок
Цей зв'язок визначається матрицею повороту
Властивості
Оскільки поворот — це перетворення координат, при якому зберігаються довжини векторів, то
отже, матриця повороту є ортогональною матрицею: (обернена матриця дорівнює транспонованій матриці).
Оскільки поворот зберігає орієнтацію, то (детермінант матриці повороту дорівнює одиниці).
Добутком матриць повороту є матриця повороту:
Три вищеперераховані властивості означають, що матриці повороту утворюють дійсну спеціальну ортогональну групу (SO(n)).
Корисною є властивість взаємодії з векторним добутком:
Матриця повороту на площині
У двовимірному випадку матриця повороту має вигляд
де — кут повороту проти годинникової стрілки.
Вона обертає вектор рядок за допомогою наступного множення матриць, .
Тож нові координати (x',y) точки (x,y) після обертання будуть наступні: , .
Матриця повороту в тривимірному просторі
Матриці повороту відносно осей x, y та z відповідно:
Матриця повороту може бути виражена через кути Ейлера як
Матриця повороту відносно одиничного вектора на кут :
де — матриця векторного добутку, — тензорний добуток векторів (результатом є матриця).
Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших: перший — проектор на лінію вектора u, інші — на лінії, що перпендикулярні вектору u'.
Вищенаведена формула — матричний запис формули повороту Родрігеса.
Матриця повороту в просторі Мінковського У просторі Мінковського матриця повороту включає в себе як просторові повороти, так і переходи від однієї інерційної системи відліку до іншої, які задаються перетвореннями Лоренца.
Див. також Кватерніони і повороти простору Унітарна матриця
Джерела