Ортогональна матриця — невироджена квадратна матриця (зазвичай із дійсними елементами) така, що , де
— транспонована матриця до матриці , — одинична матриця,
Еквівалентне твердження:, її обернена матриця дорівнює транспонованій матриці:
Ортогональна матриця є частковим випадком унітарної матриці.
Властивості Визначник ортогональної матриці дорівнює . Скалярний добуток рядка матриці (чи стовпця) на інший рядок (чи стовпець) дорівнює нулю, а скалярний добуток на самого себе дорівнює одиниці (стовпці й рядки ортогональної матриці утворюють ортонормовані системи). тобто, для ортогональної матриці справедливі формули:
де — символ Кронекера.
Ортогональні матриці відповідають лінійним операторам, що переводять ортонормований базис векторного простору в ортонормований. Довільна дійсна ортогональна матриця подібна блочно-діагональній матриці з блоками виду
Ортогональні матриці порядку над полем утворюють групу за множенням. Це ортогональна група, що позначається (якщо опущено — вважається ).
Розклад матриці Ортогональна матриця з визначником +1 є матрицею повороту. Ортогональну матрицю з визначником -1 можна подати у вигляді добутку двох матриць: матриці повороту на матрицю симетрії відносно (гіпер)площини (перетворення Хаусхолдера).
Див. також Теорія матриць Унітарна матриця Перетворення Келі
Джерела