Метод FTCS (від , «прямий у часі, центрований у просторі») — метод скінченних різниць, який використовують для чисельного розв'язання рівняння теплопровідності та інших подібних параболічних диференціальних рівнянь з частинними похідними. Це метод першого порядку за часом, явний за часом й умовно стійкий при застосуванні до рівняння теплопровідності. При використанні як методу для рівнянь адвекції або, загалом, гіперболічних диференціальних рівнянь з частинними похідними, він нестійкий, якщо не вмикати штучну в'язкість. Абревіатуру FTCS вперше використав Патрік Роуч.
Метод Метод FTCS ґрунтується на прямому методі Ейлера за часом (звідси «прямий у часі») та центрований скінченній різниці в просторі (звідси «центрований у просторі»), що забезпечує точність першого порядку за часом та точність другого порядку за просторовою координатою. Наприклад, для диференціального рівняння в частинних похідних
на сітці прямий метод Ейлера визначається так:
Функція має бути дискретизована просторово за допомогою центральної схеми скінченних різниць. Цей метод явний, тобто можна явно обчислити (немає потреби розв'язувати систему алгебраїчних рівнянь), якщо відомі значення в попередній момент часу . Метод FTCS є обчислювально недорогим, оскільки він є явним.
Ілюстрація: одновимірне рівняння теплопровідності Метод FTCS часто застосовують до задач дифузії. Наприклад, для одновимірного рівняння теплопровідності,
схема FTCS задається так:
або, позначаючи ,
Стійкість За допомогою Фон-нейманівського аналізу стійкості можна показати, що метод FTCS для одновимірного рівняння теплопровідності є чисельно стійким тоді і тільки тоді, коли виконується наступна умова:
Тобто, вибір і має задовольняти вищезазначену умову для стійкості схеми FTCS. У двох вимірах умова набирає форми
Якщо ми виберемо , то умови стійкості набувають форми , , та для одно-, дво- та тривимірного випадків відповідно.
Основним недоліком методу FTCS є те, що для задач з великим коефіцієнтом дифузії задовільні розміри кроків можуть бути практично малими.
Для гіперболічних диференціальних рівнянь з частинними похідними тестовою задачею є лінійне рівняння адвекції з постійним коефіцієнтом (так саме, як лінійне рівняння теплопровідності або дифузії є тестовою задачею для параболічного диференціального рівняння). Виявляється, що для цих гіперболічних задач будь-який вибір призводить до нестійкої чисельної схеми.
Див. також Диференціальне рівняння з частинними похідними Метод Кранка — Ніколсона Метод скінченних різниць в часовій області
Примітки