Періоди́чна фу́нкція ― функція, яка повторює свої значення через деякий ненульовий період, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргументу фіксованого ненульового числа (періоду). Наприклад, тригонометричні функції, які використовують для опису хвиль та інших повторюваних явищ, є періодичними. Багато аспектів природного світу мають періодичну поведінку, зокрема фази Місяця, коливання маятника, маятника та серцебиття.
Довжина інтервалу, на якому періодична функція повторюється, називається її періодом. Будь-яку функцію, що не є періодичною, називають аперіодичною.
Означення
Функцію називають періодичною якщо її значення повторюються через регулярні проміжки. Наприклад, положення стрілок годинника демонструють періодичну поведінку, оскільки вони циклічно проходять ті самі положення кожні 12 годин. Цей повторюваний інтервал називається періодом.
Більш формально, функція є періодичною, якщо існує стала така, що
для всіх значень з області визначення. Ненульову сталу для якої виконується ця умова, називають періодом функції.
Якщо період існує, то будь-яке його ціле кратне (для додатного цілого ) також є періодом. Якщо існує найменший додатний період, його називають (або основним періодом)Для деяких функцій, таких як стала функція або функція Діріхле (характеристична функція раціональних чисел), найменший додатний період може не існувати (інфімум усіх додатних періодів дорівнює нулю).. Часто під «періодом» функції мають на увазі саме її головний період.
Геометрично графік періодичної функції має трансляційну симетрію: він є інваріантним щодо зсуву вздовж осі на відстань . Це означає, що весь графік можна отримати з копій одного фрагмента, повторюваних через регулярні інтервали.
Приклади Періодичну поведінку можна проілюструвати як побутовими прикладами, так і строгими математичними функціями.
Функції дійсної змінної Функції, що відображають дійсні числа в дійсні, можуть бути періодичними; зазвичай це наочно показують на графіку.
Пилкоподібна хвиля Прикладом є функція , що представляє «дробову частину» свого аргументу. Її період дорівнює 1. Наприклад
Графік функції має вигляд пилкоподібної хвилі.
Тригонометричні функції
Тригонометричні функції — класичні приклади періодичних функцій. Функції синуса і косинуса мають головний період , як показано на рисунку. Для синуса це записують так:
для всіх значень .
Розділ рядів Фур'є досліджує концепцію, згідно з якою довільну періодичну функцію можна представити у вигляді суми тригонометричних функцій з відповідними періодами.
Екзотичні функції Деякі функції є періодичними, але мають властивості, які роблять їх менш інтуїтивними. Наприклад, функція Діріхле, є періодичною, причому будь-яке ненульове раціональне число є її періодом. Водночас вона не має головного періоду.
Функції комплексної змінної Функції з областю визначення в комплексних числах можуть мати складніші періодичні властивості.
Комплексна експонента Комплексна експоненціальна функція є періодичною з чисто уявним періодом:
Оскільки функції косинуса і синуса мають період , формула Ейлера показує, що комплексна експонента має період де .
Двоперіодичні функції Функція на комплексній площині може мати два різні, несумірні періоди і при цьому не бути сталою. Основним прикладом є еліптичні функції. (У цьому контексті «несумірні» означає періоди, які не є дійсними кратними один одного.)
Властивості Періодичні функції можуть набувати одних і тих самих значень багаторазово. Зокрема, якщо функція є періодичною з періодом , то для всіх з області визначення та всіх додатних цілих
Важливою властивістю, пов'язаною з інтегруванням, є те, що якщо інтегровна періодична функція з періодом , то її визначений інтеграл на будь-якому інтервалі довжини є однаковим. Тобто для будь-якого дійсного числа :
Ця властивість є ключовою, зокрема, в теорії рядів Фур'є, де коефіцієнти визначаються інтегралами на одному періоді.
Якщо функція з періодом , то функція , де — ненульове дійсне число, таке що належить області визначення , є періодичною з періодом . Наприклад, має період отже матиме період .
Ключова властивість багатьох періодичних функцій полягає в тому, що їх можна описати рядом Фур'є. Такий ряд представляє періодичну функцію як суму простіших періодичних функцій — синусів і косинусів. Наприклад, звукову хвилю музичного інструмента можна розкласти на основний тон і різні обертони. Такий розклад є потужним інструментом у фізиці та обробці сигналів. Хоча більшість «добре поводжених» періодичних функцій можна представити у такий спосібНаприклад, для функцій L2, стверджує, що вони мають майже всюди збіжний поточковий (лебегівський) ряд Фур'є., ряди Фур'є можна використовувати лише для періодичних функцій або для функцій, визначених на скінченному інтервалі. Якщо — періодична функція з періодом , яку можна описати рядом Фур'є, то коефіцієнти цього ряду можна визначити за допомогою інтеграла за інтервалом довжиною .
Будь-яка функція, яка є комбінацією періодичних функцій з однаковим періодом, також є періодичною (хоча її головний період може бути меншим). До таких операцій належать: додавання, віднімання, множення та ділення періодичних функцій, піднесення періодичної функції до степеня або добування з неї кореня (за умови, що операція визначена для всіх .)
Узагальнення Поняття періодичності можна узагальнювати за межі функцій на дійсній числовій прямій. Наприклад, ідею повторюваного візерунка можна застосувати до форм у кількох вимірах, зокрема до періодичного замощення площини. Послідовність також можна розглядати як функцію, визначену на множині натуральних чисел, і відповідно визначати поняття періодичної послідовності.
Антиперіодичні функції Однією з підмножин періодичних функцій є антиперіодичні функції. Це такі функції для яких для всіх . Наприклад, функції синуса і косинуса є -антиперіодичними та -періодичними. Хоча -антиперіодична функція є -періодичною, обернене твердження загалом не є істинним.
Періодичні функції Блоха Подальше узагальнення з'являється в контексті теорем Блоха та теорії Флоке, які описують розв'язки різних періодичних диференціальних рівнянь. У цьому контексті розв'язок (в одновимірному випадку) зазвичай має вигляд
де — дійсне або комплексне число (хвильовий вектор Блоха або показник Флоке). Функції такого вигляду в цьому контексті іноді називають періодичними за Блохом'''. Звичайна періодична функція є окремим випадком при , а антиперіодична функція — окремим випадком при . Щоразу, коли значення є раціональним, функція також є періодичною.
Фактор-простори як область визначення В обробці сигналів виникає проблема, що ряди Фур'є представляють періодичні функції і задовольняють (тобто згортка рядів Фур'є відповідає множенню представлених періодичних функцій, і навпаки), проте періодичні функції неможливо згортати за звичайним визначенням, оскільки відповідні інтеграли розбігаються. Одним зі способів розв'язання цієї проблеми є означення періодичної функції на обмеженій, але періодичній області. Для цього можна скористатися поняттям :
.
Тобто кожен елемент у є класом еквівалентності дійсних чисел, що мають однакову дробову частину. Таким чином, функція виду є представленням 1-періодичної функції.
Обчислення періоду Розглянемо дійсну хвильову форму, що складається з накладених частот, представлених у вигляді відношень до основної частоти, f: F = [f f f … f] де всі ненульові елементи ≥1 і принаймні один елемент множини дорівнює 1. Щоб знайти період T, спершу визначають найменший спільний знаменник усіх елементів множини. Тоді період обчислюється як T = . Для простої синусоїди T = . отже найменший спільний знаменник можна розглядати як множник періодичності.
Для множини, що представляє всі ноти західної : [1 ], найменший спільний знаменник дорівнює 24, тому T = . Для множини, що представляє всі ноти мажорного тризвуку: [1 ], найменший спільний знаменник дорівнює 4, тому T = . Для множини, що представляє всі ноти мінорного тризвуку: [1 ], найменший спільний знаменник дорівнює 10, тому T = .
Якщо найменшого спільного знаменника не існує (наприклад, коли один з елементів є ірраціональним числом), хвиля не буде періодичною.
Список періодичних функцій Це список основних добре відомих періодичних функцій.
Тригонометричні функції
Синус Косинус
Тангенс Котангенс Секанс Косеканс Ексеканс Екскосеканс Синус-верзус Косинус-верзус Гаверсинус
Синус-подібні функції
Трохоїда Циклоїда
Негладкі функції
Трикутна хвиля Пилкоподібна хвиля Меандр Циклоїда Тангенс Котангенс Секанс Косеканс Ексеканс Екскосеканс
Функції векторних значень
Епітрохоїда Епіциклоїда Равлик Паскаля Гіпотрохоїда Гіпоциклоїда Спірограф
Подвійно періодичні функції
Еліптичні функції Якобі Еліптичні функції Вейєрштрасса
Див. також Амплітуда — міра зміни періодичної змінної Визначена висота тону — чітко розрізнювана висота звуку Гармонічний аналіз — розділ математики, у якому вивчаються способи представлення функцій однієї чи багатьох змінних за допомогою рядів Фур'є Довжина хвилі — відстань, на якій форма хвилі повторюється Квазіперіодична функція — клас функцій, що поводяться «подібно» до періодичних Коливання — специфічні рухи або зміни стану систем різної фізичної природи Майже періодична функція — функція, що «наближається» до періодичності Метод подвійної сфери Фур'є — математичний метод Неперервний сигнал — електромагнітна хвиля без імпульсів Перетворення Фур'є для обчислення періодичності рівномірно розташованих даних — періодична функція одновимірного простору, яка рухається з постійною швидкістю Періодична послідовність — послідовність, у якій ті самі терми повторюються — сума значень функції з кроком 𝑃 — функція з двома комплексними «періодами» Рівняння Гілла — лінійне диференціальне рівняння другого порядку з періодичною функцією Ряд Фур'є — спосіб представлення довільної складної функції сумою простіших Спектральний аналіз методом найменших квадратів для нерівномірних даних Список періодичних функцій Сезонність — коливання даних у регулярні проміжки менш ніж за рік — довготривала неперіодична зміна — поняття, пов'язане з хвилями й сигналами Частота — кількість повторень або циклів за одиницю часу
Примітки
Джерела
Посилання