Другий закон Ньютона — диференціальний закон механічного руху, що описує залежність прискорення тіла від рівнодійної всіх прикладених до тіла сил і маси тіла. Один з трьох законів Ньютона. Основний закон динамікиГ. А. Бугаенко, , Основы классической механики. — Москва, Высшая школа, 1999. — ISBN 5-06-003587-5 — Тираж 3000 прим. — c. 43Кузнецов Б. Г. Основные принципы физики Ньютона // отв. ред. , Очерки развития основных физических идей. — М., АН СССР, 1959. — Тираж 5000 экз. — с. 188;Тарасов В. Н., Бояркина И. В., Коваленко М. В., Федорченко Н. П., Фисенко Н. И. Теоретическая механика. — М., ТрансЛит, 2012. — ISBN 978-5-94976-455-8. — Тираж 1000 экз. — с. 249.
Об'єктом (тілом), про яке йдеться в другому законі Ньютона, є матеріальна точка, яка має невід'ємну властивість — інерціюТе саме, що й інертність. Див. статтю "Инерция" у Фізичній енциклопедії, величина якої характеризується масою. У класичній (ньютонівській) механіці маса матеріальної точки вважається сталою в часі і не залежною від будь-яких особливостей її руху і взаємодії з іншими тілами«Додатковою характеристикою (порівняно з геометричними характеристиками) матеріальної точки є скалярна величина m — маса матеріальної точки, яка, загалом, може бути як постійною, так і змінною величиною… В класичній ньютонівській механіці матеріальна точка зазвичай моделюється геометричною точкою з властивою їй постійною масою, яка є мірою її інерції.» стор. 137 Седов Л. И., Цыпкин А. Г. Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма. Москва: Наука, 1989. «Маса матеріальної точки вважається сталою величиною, що не залежить від обставин руху». «Аксіома 3.3.1. Маса матеріальної точки зберігає своє значення не тільки в часі, але і за будь-яких взаємодій матеріальної точки з іншими матеріальними точками незалежно від їх числа і від природи взаємодій». «У класичній механіці маса кожної точки або частинки системи вважається під час руху величиною постійною».
Другий закон Ньютона в його найпоширенішому формулюванні, справедливому для швидкостей, значно менших від швидкості світла, стверджує: в інерційних системах відліку прискорення, якого набуває матеріальна точка, прямо пропорційне силі, що його викликає, і не залежить від її природиБутиков Е. И., Быков А. А., Физика для поступающих в вузы. — М.: Наука, 1982. — С.39., збігається з нею за напрямком і обернено пропорційне масі матеріальної точки Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1975. — C. 107.
Другий закон Ньютона в класичній механіці
Можливі формулювання
У своїй праці «Математичні початки натуральної філософії» Ісаак Ньютон наводить таке формулювання свого закону:
Зміна кількості руху пропорційна прикладеній рушійній силі і відбувається у напрямку тієї прямої, вздовж якої ця сила діє.
Сучасне формулювання:
В інерційних системах відліку прискорення, якого набуває матеріальна точка, прямо пропорційне силі, що його викликає, збігається з нею за напрямком і обернено пропорційне масі матеріальної точки.
Зазвичай цей закон записується у вигляді формули
де — прискорення тіла, — сила, прикладена до тіла, а — маса тіла.
Або в іншому вигляді:
Формулювання другого закону Ньютона з використанням поняття імпульсу :
В інерційних системах відліку похідна імпульсу матеріальної точки за часом дорівнює силі, що діє на неї:
де — імпульс (кількість руху) точки, — її швидкість, а — час.
Область застосування закону Другий закон Ньютона в класичній механіці сформульований стосовно руху матеріальної точки. Передбачається, що маса матеріальної точки незмінна в часі «…другий закон Ньютона справедливий тільки для точки постійного складу. Динаміка систем змінного складу вимагає особливого розгляду».«У ньютонівській механіці… m=const і dp/dt=ma». «Для частинки в ньютонівській механіці, M є константою і (d/dt)(Mv) = M(dv/dt) = Ma».. Рівняння, відповідні даному закону, називаються рівняннями руху матеріальної точки або основними рівняннями динаміки матеріальної точки.
Іноді в рамках класичної механіки були спроби поширити сферу застосування рівняння і на випадок тіл змінної маси. Однак разом з таким розширювальним тлумаченням рівняння доводилося істотно змінювати прийняті раніше визначення і зміст таких фундаментальних понять, як матеріальна точка, імпульс і силаКильчевский Н. А. Курс теоретической механики. Том 1. — М.: Наука, 1977. 480 с..
У разі, коли на матеріальну точку діє декілька сил, кожна з них надає точці прискорення, яке визначається другим законом Ньютона так, ніби інших сил немає (принцип незалежності дії сил). Тому кінцеве прискорення матеріальної точки можна визначити за другим законом Ньютона, підставивши у нього рівнодійну силу.
Рівняння другого закону Ньютона припускає скалярну адитивність масОрир Дж. Физика // М., Мир, 1981. — Тираж 75 000 экз. — Том 1. — с. 54.
Крім матеріальної точки, рівняння другого закону Ньютона можна застосувати також для опису механічного руху центра мас механічної системи. Центр мас рухається, як матеріальна точка, яка має масу, рівну масі всієї системи, і яка перебуває під дією всіх зовнішніх сил, прикладених до точок системи (теорема про рух центра мас системи).
Другий закон Ньютона виконується тільки в інерційних системах відліку Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — C. 118 Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1975. — C. 289. Проте, додаючи до сил, що діють з боку інших тіл, сили інерції, для опису руху в неінерційних системах відліку можна користуватися рівнянням другого закону Ньютона Савельев И. В. Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — C. 118—119. В такому випадку для неінерційної системи відліку рівняння руху записується в тій самій формі, що й для інерційної системи: маса тіла, помножена на його прискорення відносно неінерційної системи відліку, дорівнює за величиною і напрямком рівнодійній всіх сил, включно із силами інерції, прикладеними до тіла Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1975. — C. 291 Савельев И. В. Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — C. 119.
Логічна роль другого закону Ньютона У ньютонівському викладі класичної механіки закони Ньютона нізвідки не «виводяться», вони мають статус аксіом, що ґрунтуються на сукупності експериментальних фактів. Як і аксіоми математики, аксіоми ньютонівської динаміки можна сформулювати трохи по-різному.
За одного підходу другий закон Ньютона позиціюється як експериментально перевірюване твердження про пропорційність прискорення силі, що його викликає і, одночасно, визначення інертною маси тіла через відношення величин сили і прискоренняЛандсберг Г. С. Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1975. — C. 106 Физические основы механики. — М.: Физматгиз, 1963. — C. 104. Тоді основна ідея другого закону полягає в декларації лінійності співвідношення «сила-прискорення», тобто що саме ці величини (а не, скажімо, сила і швидкість) і саме таким чином (а не квадратично тощо) пов'язані між собою.
За іншого підходу можна ввести інертну масу незалежно від другого закону Ньютона, через масу певного тіла, прийнятого за еталон. Тоді другий закон містить два незалежно експериментально перевірюваних твердження: про пропорційність прискорення силі і обернену пропорційність масіБутиков Е. И., Быков А. А., Кондратьев А. С. Физика для поступающих в вузы. — М.: Наука, 1982. — С. 30..
У багатьох практичних і навчальних задачах другий закон Ньютона дозволяє обчислювати силу. Але цей закон не є дефініцією силиР. Ф. Фейнман Фейнмановские лекции по физике. Том I. Современная наука о природе Законы механики. — М.: Наука, 1978. — С. 209—210. (вислів на зразок «за визначенням, сила є добуток маси на прискорення» недоречний), інакше він перетворився б на тавтологію.
У разі відсутності впливу на тіло з боку інших тіл (), з другого закону Ньютона випливає, що прискорення тіла дорівнює нулю. Звідси може здатися, що перший закон Ньютона входить у другий як його окремий випадок. Однак, це не так, оскільки саме першим законом постулюється існування інерційних систем відліку, що є самостійним змістовним твердженням. Відповідно, перший закон Ньютона формулюється незалежно від другогоСавельев И. В. Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — C. 54.
Другий закон Ньютона встановлює зв'язок між динамічними і кінематичними величинамиСелезнев Ю. А. Основы элементарной физики. — М., Наука, 1966. — Тираж 100 000 экз. — с. 40. Крім того, рівняння закону може розглядатися як рівняння зв'язку між фізичними величинами під час визначення одиниць сили в системах SI, СГС та іншихГ. Д. Бурдун, Б. Н. Марков Основы метрологии. — М.: Издательство стандартов, 1972. — Тираж 30 000 экз. — С. 49.. Одиниця сили визначається як така сила, яка матеріальній точці з масою, що дорівнює одиниці маси, прийнятої за основну, надає прискорення, рівне одиниці прискорення, визначеній раніше за похідну одиницю Единицы физических величин и их размерности. — М.: Наука, 1977. — С. 24.. (За незалежного вибору одиниць маси, сили і прискорення вираз другого закону потрібно писати у вигляді , де — коефіцієнт пропорційності, який визначається вибором одиниць вимірювання«Не следует смешивать понятия силы и произведения массы на ускорение, которому она равна» ().).
Сила у другому законі Ньютона залежить тільки від координат і швидкості матеріальної точки: . Основне завдання фізичної механіки зводиться до знаходження функції Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика. — М., Наука, 1979. — Тираж 50 000 экз. — с. 71-72.
Формула другого закону Ньютона виражає принцип причинності класичної механіки. Координати й швидкість матеріальної точки в момент часу (де ) неперервно й однозначно визначаються через їх значення в момент часу і задану силу , що діє на матеріальну точку. Розкладаючи в ряд Тейлора і обмежуючись малими першого порядку за , ОтримуємоР. Ф. Фейнман Фейнмановские лекции по физике. Том I. Современная наука о природе Законы механики. — М.: Наука, 1978. — С. 164.: , . Форма, в якій у механіці реалізується причинність, називається механістичним або лапласівським детермінізмомБугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. ISBN 5-06-003587-5 — Тираж 3 000 экз. — С. 47..
Рівняння другого закону Ньютона інваріантне відносно перетворень Галілея. Це твердження називається принципом відносності ГалілеяСивухин Д. В. Общий курс физики. Механика. — М., Наука, 1979. — Тираж 50 000 экз. — с. 94.
У класичній механіці закон збереження енергії, закон збереження імпульсу і закон збереження моменту імпульсу є наслідками другого закону Ньютона, однорідності часу, однорідності й ізотропності простору, а також деяких припущень щодо характеру сил, які діютьСивухин Д. В. Общий курс физики. Механика. — М., Наука, 1979. — Тираж 50 000 экз. — с. 199.
У разі, коли сила стала, інтегрування рівняння другого закону Ньютона приводить до рівності . Це співвідношення показує, що під дією заданої сили певна зміна швидкості у тіла з більшою масою відбувається за більш тривалий проміжок часу. Тому кажуть, що всі тіла володіють інерцією, а масу називають мірою інерції тілаЖирнов Н. И. Классическая механика. — М., Просвещение, 1980. — с. 34-35.
Запис закону в різних системах координат Векторний запис другого закону Ньютона істинний для будь-якої інерціальної системи координат, відносно якої визначаються величини, що входять до цього закону (сила, маса, прискорення)Р. Неванлинна Пространство, время и относительность. — М., Мир, 1966. — c. 202. Однак, розклади на компоненти (проєкції) будуть різними для декартової, циліндричної і сферичної систем. Інтерес також являє розклад на нормальну і тангенціальну складові.
Декартова прямокутна система координат