Перетворення Лапла́са — інтегральне перетворення, що пов'язує функцію комплексної змінної (зображення) з функцією дійсної змінної (оригінал). За його допомогою досліджують властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.
Однією з особливостей перетворення Лапласа, які зумовили його широке поширення в наукових і інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналами відповідають простіші співвідношення між їхніми зображеннями. Так, згортка двох функцій зводиться в просторі зображень до операції множення, а лінійні диференціальні рівняння стають алгебраїчними.
Означення
Пряме перетворення Лапласа Перетворенням Лапласа функції дійсної змінної , називається функція комплексної змінної , така що:
Права частина цього виразу називається інтегралом Лапласа.
Обернене перетворення Лапласа Оберненим перетворенням Лапласа функції комплексної змінної , називається функція дійсної змінної, така що:
де — деяке дійсне число. Права частина цього виразу називається інтегралом Бромвіча.
Двостороннє перетворення Лапласа
Двостороннє перетворення Лапласа визначається таким чином:
Дискретне перетворення Лапласа
Розрізняють -перетворення і -перетворення.
-перетворення
Нехай — дискретна функція, тобто значення цієї функції визначені тільки в дискретні моменти часу , де — ціле число, а — період дискретизації. Тоді, застосовуючи перетворення Лапласа, одержуємо:
-перетворення
Якщо використати наведену заміну змінних: , одержимо Z-перетворення:
Властивості
Абсолютна збіжність Якщо інтеграл Лапласа є абсолютно збіжним при , тобто існує границя
,
то він є збіжним абсолютно і рівномірно для і — аналітична функція при ( — дійсна частина комплексної змінної ). Точна нижня грань множини чисел , при яких ця умова виконується, називається абсцисою абсолютної збіжності перетворення Лапласа для функції .
Достатні умови існування прямого перетворення Лапласа Перетворення Лапласа існує в сенсі абсолютної збіжності в наступних випадках: Випадок : перетворення Лапласа існує, якщо існує інтеграл Випадок : перетворення Лапласа існує, якщо інтеграл існує для кожного скінченного и для Випадок або (яка із границь більша): перетворення Лапласа існує,якщо існує перетворення Лапласа для функції (похідна до ) для .
Достатні умови існування оберненого перетворення Лапласа
1. Якщо — аналітична функція для і має порядок менше −1, то обернене перетворення для неї існує і є неперервним для всіх значень аргумента, причому для
2. Нехай , так щоб аналітична відносно кожного і рівна нулю для , і , тоді обернене перетворення існує і відповідне пряме перетворення має абсцису абсолютної збіжності.
Теорема про згортку
Перетворенням Лапласа згортки двох оригіналів є добуток зображень цих оригіналів.
Множення зображень
Ліва частина цього виразу називається інтегралом Дюамеля.
Диференціювання і інтегрування оригіналу Для перетворення Лапласа від похідної функції виконується рівність:
Для похідної -го порядку:
Перетворення Лапласа від інтеграла функції дорівнює:
Диференціювання та інтегрування зображення Обернене перетворення Лапласа від похідної функції дорівнює:
Обернене перетворення Лапласа від інтеграла функції дорівнює:
Запізнення оригіналів і зображень. Граничні теореми Запізнення зображень:
Запізнення оригіналів:
де , — Функція Гевісайда.
Інші властивості Лінійність
Множення на число
Пряме і обернене перетворення Лапласа деяких функцій
№ Функція Часова область Частотна область Область збіжності 1 ідеальне запізнення 1a одиничний імпульс 2 запізнення n-го порядку з частотним зсувом 2a степенева n-го порядку 2a.1 степенева q-го порядку 2a.2 одинична функція 2b одинична функція з запізненням 2c «сходинка швидкості» 2d n-го порядку з частотним зсувом 2d.1 експоненційне затухання 3 експоненційне наближення 4 синус 5 косинус 6 гіперболічний синус 7 гіперболічний косинус 8 експоненційно затухаючий синус 9 експоненційно затухаючий косинус 10 корінь n-го порядку 11 натуральний логарифм 12 функція Бесселя першого роду порядку n 13 модифікована функція Бесселя першого роду порядку n 14 функція Бесселя другого роду нульового порядку 15 модифікована функція Бесселя другого роду, нульового порядку 16 функція помилок Примітки до таблиці: — Функція Гевісайда. — дельта-функція. — гамма-функція. — стала Ейлера — Маскероні. , — дійсна змінна. — комплексна змінна. , , и — дійсні числа. — ціле число.
Застосування перетворення Лапласа Перетворення Лапласа широко використовується в математиці, фізиці і техніці.
Розв'язок систем диференціальних і інтегральних рівнянь — за допомогою перетворення Лапласа легко переходити від складних понять математичного аналізу до простіших алгебраїчних відношень. Розрахунок вихідних сигналів динамічних систем в теорії управління і обробці сигналів. Розрахунок електричних схем за допомогою операторного методу. Розв'язок нестаціонарних задач математичної фізики.
Джерела
Ван-дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа.-М., ИЛ, 1952 Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961 Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.-М., ИЛ, 1948 Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1964 Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения.-М., Наука, 1964.-103 с. Микусинский Я. Операторное исчисление.-М., ИЛ, 1956 Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1980.-336 с.
Інтернет-ресурси Операційне числення. Перетворення Лапласа.
Див. також Перетворення Фур'є Диференціальні рівняння Перетворення Бесселя Перетворення Мелліна Перетворення Карсона-Хевісайда Z-перетворення