Метод моментів знаходження оцінок в математичній статистиці — це спосіб побудови оцінок, заснований на порівнянні теоретичних і вибіркових моментів.
Опис Коротко, метод моментів описується так: «Ми маємо певну вибірку, і припускаємо що вона задається певним розподілом з параметрами. Ми обчислюємо скільки моментів цього розподілу скільки параметрів, і прирівнюємо їх до відповідних моментів вибірки. Так як моменти розподілу є функціями від параметрів, то отримаємо систему рівнянь відносно параметрів, і з неї отримуємо результат.»
Формально: нехай — вибірка з розподілу , що залежить від параметра . Нехай маємо функцію , таку що інтегрована відносно міри , і
, де — бієкція. Тоді оцінка
називається оцінкою параметра методом моментів.
Зауваження Оцінки знайдені методом моментів, як правило спроможні, але часто неефективні. Тому їх можна використовувати лише як перше наближення, базуючись на яких можна знаходити наступні наближення з меншою дисперсією.
За побудовою, , тобто оцінка методом моментів отримується шляхом прирівнювання теоретичного середнього з вибірковим середнім.
Як функцію часто беруть степеневу функцію: .
Оцінка суттєво залежить від використаної функції . Якщо можливе використання кількох різних функцій , отримані з їх допомогою оцінки можуть відрізнятися.
Конзистентність методу Якщо , тобто функція неперервна, то оцінка методу моментів конзистентна.
Приклад Нехай — вибірка з гамма-розподілу з невідомими параметрами і . Тоді . Тоді оцінки методу моментів задовольняють систему рівнянь:
звідки
, і .
Див. також Проблема моментів Метод максимальної правдоподібності
Джерела