Параболо́їд — тип поверхні другого порядку.
Рівняння Типи параболоїдів Канонічне рівняння параболоїда в декартових координатах:
якщо і мають один знак, то параболоїд зветься еліптичним. якщо і мають різні знаки, то параболоїд зветься гіперболічним. якщо один із коефіцієнтів дорівнює нулю, то параболоїд зветься параболічним циліндром.
Еліптичний параболоїд
Еліптичний параболоїд виглядає як овальна чашка й може мати точку максимуму або мінімуму. У системі координат з трьома осями , і , еліптичний параболоїд може бути поданий рівнянням
де і — константи, що визначають кривизну в площинах - і - відповідно.
Гіперболічний параболоїд
Гіперболічний параболоїд (не плутати з гіперболоїдом) — це двічі лінійчата поверхня, що має вигляд сідла. У належній системі координат гіперболічний параболоїд може бути поданий рівнянням
Властивості Гіперболічний параболоїд — це двічі лінійчата поверхня, тому може бути використана для побудови сідлової поверхні з ліній.
Коли a = b, еліптичний параболоїд перетворюється на параболоїд обертання: поверхню отримано обертанням параболи навколо її осі. Форму параболоїду обертання мають параболічні рефлектори, дзеркала, антенні тарілки тощо. Форма рідини, що обертається в рідинно-дзеркальних телескопах, також є параболоїдом обертання. Параболоїд обертання також називається круговим параболоїдом.
Кривина Еліптичний параболоїд, що параметризований як
має Ґаусову кривину
і середню кривину
обидві з яких є позитивними, мають максимум на початку відліку, стають меншими з рухом точки від початку відліку, прямують асимптотично до нуля, коли точка рухається нескінченно віддалено від початку відліку.
Гіперболічний параболоїд параметризований як
має Ґаусову кривину
і середню кривину
Таблиця множення
Якщо гіперболічний параболоїд
обертається на кут π/4 в напрямку +z (відповідно до правила правої руки, то результатом є поверхня
і якщо тоді вираз спрощується до . Нарешті, прирівнюючи , можна бачити, що гіперболічний параболоїд
є конгруентним до поверхні
що може бути геометричною інтерпретацією (тривимірна номограма) таблиці множення.
Дві параболоїдні функції
і
є гармонійними кон'югатами, і разом формують аналітичну функцію
яка є аналітичним продовженням parabolic function
Параболоїди в природі та техніці
Параболоїди обертання мають властивість фокусувати промені, що проходять паралельно головній оптичній осі, в одній точці, ця властивість використовується при розробці антен та телескопів.
Гіперболічний параболоїд утворюється сіткою прямих, що перетинаються, ця властивість використовується в будівництві. Дах кіноконцертного залу «Україна» в Харкові (1958) був виконан у формі седла. Дах кіноконцертного залу «Ювілейний» в Херсоні (1970) також був виконан у формі седла.
Гіперболоїд інженера Гаріна насправді мав форму параболоїда обертання.
Чайник у формі параболоїда обертання швидше закипає і довше зберігає тепло.
Див. також Еліпсоїд Гіперболоїд
Література