З двома змінними Диференціальним рівнянням з частинними похідними другого порядку з двома незалежними змінними називається співвідношення між невідомою функцією та її частинними похідними до другого порядку включно.
Рівняння називається лінійним відносно старших похідних, якщо воно має вигляд:
де — функції від x та y.
Якщо є функціями також від , то таке рівняння називають квазілінійним.
Рівняння називається лінійним, якщо має вигляд: , де — деякі функції від x та y.
Якщо — сталі, то рівняння називають лінійним рівнянням зі сталими коефіцієнтами.
Якщо , то рівняння однорідне, інакше неоднорідне.
Всю сукупність лінійних рівнянь можна поділити на три типи. Кожному з цих трьох типів відповідає певне рівняння найпростішого виду, яке називають канонічним.
За загальноприйнятою класифікацією, вважають, що рівняння (1) належить до гіперболічного типу, якщо ; параболічного типу, якщо ; еліптичного типу, якщо ; де (рівняння може належати до різних типів, в різних областях площини x,y)
З багатьма змінними Розглянемо лінійне рівняння другого порядку з дійсними коефіцієнтами:
— функції від .
Йому відповідає квадратична форма:
Зводимо її до канонічного виду, за допомогою лінійного перетворення, матрицю якого позначимо B.
Рівняння еліптичне, якщо в всі коефіцієнти квадратичної форми відмінні від нуля, і одного знаку. Рівняння гіперболічне, якщо в всі коефіцієнти квадратичної форми відмінні від нуля, і один відрізняється знаком. Рівняння параболічне, якщо деякі коефіцієнти квадратичної форми нульові.
Література
Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983; Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 .