Обернені тригонометричні функції (аркфункції) — математичні функції, що є оберненими до тригонометричних функцій.
До обернених тригонометричних функцій відносять 6 функцій: аркси́нус (arcsin) аркко́синус (arccos) аркта́нгенс (arctg; в іноземній літературі arctan) арккота́нгенс (arcctg; в іноземній літературі arccot чи arccotan) арксе́канс (arcsec) арккосе́канс (arccosec; в іноземній літературі arccsc)
Назва оберненої тригонометричної функції утворюється від назви тригонометриної функції за допомогою префікса «арк-» (від — дуга). Це тому, що геометрично значення оберненої тригонометричної функції рівне дузі одиничного кола (чи кутові, що стягує цю дугу), яка опирається на заданий відрізок.
Основні властивості
Головні значення Оскільки жодна із тригонометричних функції не є однозначною, вони мають обмеження для того, щоб мати обернені функції. Тому області значень обернених функцій є відповідними підмножинами області визначення початкових функцій.
Функцію можна визначити як таку, що sin(y) = x. Для даного дійсного числа x, в діапазоні −1 ≤ x ≤ 1, існує декілька (на справді, нескінченно багато) чисел y, таких що ; наприклад, , але і , , і так далі. Якщо необхідно отримати лише одне значення, функцію можна обмежити до її головної області. Із таким обмеженням, для кожного x вираз буде обчислювати лише одне значення, яке називається . Ці властивості застосовується до всіх обернених тригонометричних функцій.
Головні області значень обернених функцій наведені у таблиці.
НазваПозначенняВизначенняМожливі дійсні значення аргументу функції Область значень (радіани)Область значень (градуси) арксинус y = arcsin x x = sin y −1 ≤ x ≤ 1 −π/2 ≤ y ≤ π/2 −90° ≤ y ≤ 90° арккосинус y = arccos x x = cos y −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π 0° ≤ y ≤ 180° арктангенс y = arctg x x = tg y всі дійсні числа −π/2 < y < π/2 −90° < y < 90° арккотангенс y = arcctg x x = ctg y всі дійсні числа 0 < y < π 0° < y < 180° арксеканс y = arcsec x x = sec y x ≤ −1 або 1 ≤ x 0 ≤ y < π/2 або π/2 < y ≤ π 0° ≤ y < 90° або 90° < y ≤ 180° арккосеканс y = arccosec x x = cosec y x ≤ −1 або 1 ≤ x −π/2 ≤ y < 0 або 0 < y ≤ π/2 -90° ≤ y < 0° або 0° < y ≤ 90°
Основні відношення
Доповнювальний кут:
Від'ємний аргумент:
Обернений аргумент:
Якщо наявна тільки частина таблиці для sine:
Із формули половинного кута , отримаємо:
Відношення між оберненими тригонометричними та тригонометричними функціями Тригонометричні функції, аргументом яких є обернені тригонометричні функції, приведені в таблиці нижче. Їх можна швидко вивести із геометрії правильного трикутника, одна із сторін якого має довжину 1, а інша сторона має довжину x (будь-яке дійсне число що приймає значення від 0 до 1), і застосувавши Теорему Піфагора і визначення тригонометричних співвідношень.
Діаграми
Диференціювання тригонометричних функцій
Похідна для дійсних та комплексних значень x:
Тільки для дійсних значень x:
Приклад знаходження похідної: нехай , отримаємо:
Застосування Знаходження кутів прямокутного трикутника
Обернені тригонометричні функції є корисними, коли необхідно визначити два не прямі кути прямокутного трикутника при відомих довжинах сторін трикутника. Якщо для прямокутного трикутника згадати визначення синуса, наприклад, буде отримане наступне
Часто, гіпотенуза є не відомою і перед застосуванням функцій арксинуса або арккосинуса її необхідно розрахувати використовуючи теорему Піфагора: де це довжина гіпотенузи. Арктангенс стає корисним в такій ситуації, оскільки довжина гіпотенузи не є необхідною.
Наприклад, допустимо дах має висоту в 8 метрів і просувається в довжину на 20 метрів. Дах утворює кут θ із горизонталлю, де θ можна розрахувати наступним чином:
У комп'ютерній науці і інженерії
Варіант арктангенсу з двома аргументами
Функція з двома аргументами розраховує арктангенс y / x для заданих y і x, але в діапазоні (−, ]. Іншими словами, atan2(y, x) повертає кут між додатною частиною осі x на площині і точкою (x, y) на ній, і повертає додані значення для кутів проти годинникової стрілки (верхній півплощині, y > 0), і від'ємні значення для кутів за годинниковою стрілкою (нижньої півплощини, y < 0). Вперше така функція з'явилася в комп'ютерних мовах програмування, але зараз вона є відомою і в інших областях науки і інженерії.
Через стандартну функцію arctan, у діапазоні (−, ), її можна задати наступним чином:
Це також дорівнює комплексного числа x + iy.
Цю функцію також можна визначити із використанням формули тангенса половинного кута наступним чином:
за умови, що x > 0 або y ≠ 0. Однак, значення буде не коректним якщо x ≤ 0 і y = 0 тому такий вираз не є корисним для розрахунків.
Вищезгаданий порядок аргументів (y, x) є найбільш загальним, і зокрема використовується в ISO стандартах що застосовуються, наприклад в мові програмування C, але деякі автори можуть використовувати порядок навпаки (x, y), тому потрібно приділяти увагу.
Числова точність Для кутів близькими за значенням до 0 і , arccosine є погано обумовленим і тому обчислення кута буде відбуватися із зменшеною точністю при реалізації на комп'ютері (через обмежену кількість розрядів). Аналогічно, arcsine є неточним для кутів близьких до −/2 and /2.
Див. також Тригонометрія Тригонометричні функції Список тригонометричних тотожностей Таблиця інтегралів тригонометричних функцій Таблиця інтегралів обернених тригонометричних функцій Інтегральні тригонометричні функції Обернені гіперболічні функції
Джерела
Аркфункція: від А до Я / О. С. Істер. — Вид. 2-ге. — Тернопіль : Навч. кн.—Богдан, 2012. — 175 с. : іл., табл. ; 20 см. — (Бібліотечка фізико-математичної школи, ISBN 978-966-10-0742-9). — ISBN 978-966-10-2985-8
Примітки