Теоре́ма Кра́мера — Во́льда — твердження в статистиці, теорії ймовірностей та теорії міри, що дозволяє звести окремі властивості багатовимірних ймовірнісних розподілів до одновимірних. Названа на честь шведського математика і норвезького статистика Германа Вольда.
Твердження теореми Нехай
і
— випадкові вектори розмірності k. Тоді (збіжність за розподілом) якщо і тільки якщо:
для кожного , тобто довільна фіксована лінійна комбінація збігається за розподілом до відповідної лінійної комбінації елементів вектора .
Зокрема (тобто випадкові вектори розмірності k мають однаковий розподіл) тоді і тільки тоді коли
Доведення Теорема Крамера—Вольда легко одержується з властивостей характеристичної функції, що у багатовимірному випадку визначається формулою:
Згідно з властивостями характеристичних функцій де збіжність функцій є поточковою. Але і тому:
Джерела Martin Bilodeau, David Brenner (1999), Theory of Multivariate Statistics, Springer, ISBN 0387987398 Durrett, R. Probability. Theory and examples. (2010)
Посилання Project Euclid: «When is a probability measure determined by infinitely many projections?»