Математична логіка

Пропозиції (висловлювання) Навіть при поверхневому розгляді тверджень видно, що про них є сенс говорити, що вони істинні чи хибні. Наприклад, висловлювання "серед натуральних чисел немає найбiльшого" ми сприймаємо як істинне; висловлювання "число 1 є простим числом" ми сприймаємо як хибне тощо. Таким чином, при разглядi математичних тверджень й роздумів можна повністю обмежитися лише такими пропозиціями, про які можна сказати, що вони істинні чи хибні. Слова "пропозиція" та "висловлювання" будемо вважати синонімами. З цієї точки зору математичну теорему або аксіому можна розглядати як пропозицію, а доказ теореми - як послідовність пропозицій, пов'язаних між собою певним чином. Однак тут необхідно зробити зауваження. По-перше, у математичних текстах зустрічаються твердженя, що не є пропозиціями у вказаному сенсі. Наприклад, відносно пропозицій "позначмо прості числа " та "розгляньмо числа " немає сенсу говорити, що вони істинні або хибні. По-друге, пропозиції як речення, що є істинними чи хибними, зустрічаються не лише у математиці. Наприклад, висловлювання "маса Землі надзвичайно велика" може бути як істинним, так й хибним, в залежності від деякої іншої маси, з якою порівнюють масу Землі. Пропозиція "людина - це тварина" є істинною у біологічному сенсі, однак може бути хибною, якщо її використовують при розгляді соціальних та етичних питань. Необхідно особливо зауважити, що ми зосереджуємося на формі пропозиції безвідносно до її змісту - ми не з'ясовуємо істинність чи хибність тверджень, які входять до даної пропозиції, нас цікавить лише зв'язок цих тверджень, за якого дана складна пропозиція може бути істинною чи хибною. Розгляньмо ряд тверджень:

"Тарас має прізвище Фоменко", "Богдан і Тарас - брати", "Богдан має прізвище Фоменко".

Цей логічний роздум є безвідносним щодо з'ясування чи істинним є твердження "Тарас має прізвище Фоменко" саме по собі, чи хибним. Аксіоми (грец. axiōma; кор. axio (достойність), укр. гідність, гідне) відіграють подібну роль первинних тверджень, які приймаються в якості ядерних (тобто елементарних) - таких, які не піддаються сумніву. Сумніву ж можуть піддаюватися твердження, зроблені безвідносно до аксіом чи їх множин (систем аксіом). У математиці усі твердження робляться з огляду на прийняті системи аксіом. Відокремлюючи форму від змісту, ми констатуємо їх незалежність одна від одної. Таке абстрагування породжує універсальність форм, коли одна форма може виражати множину змістів. Тобто ми можемо "підігнати" той чи інший зміст під відповідну форму міркування. І, скажімо, можемо стверджувати:

"Матерія має фізичні властивості", "Об'єкти Всесвіту складаються з матерії", "Усі об'єкти Всесвіту мають фізичні властивості".

За формою це міркування та міркування стосовно приналежності Богдана до сімейства Фоменків є однаковими. Форма такого міркування називається силогізмом, який складається з двох тверджень й висновку на їх основі.

Для позначення висловлювань будемо використовувати великі латинські літери: Єдиною суттєвою для нас характеристикою пропозиції є її істинність або хибність. Цю характеристику назвемо значенням істинності даного висловлювання. Будемо вважати, що значення істинності висловлювання дорівнює якщо висловлювання істинне, та дорівнює якщо воно хибне. Значення істинності довільного висловлювання будемо позначати Таким чином, якщо - висловлювання "", а - висловлювання "", то

Визначити декотру логічну операцію над сукупністю висловлювань - значить вказати значення істинності висловлювання, яке є результатом даної операції, за усіх можливих значень істинності початкових висловлювань Задавати ці значення зручно за допомогою таблиці, яку називають таблицею істинності розглядуваної операції. У розмовній та літературній мові слова і вирази "та", "або", "якщо..., то..." розуміються по-різному, тоді як логічні операції повинні бути визначені так, щоб усі їх розуміли однаково.

Представлення математичного знання

Якщо розглянути структуру будь-якої сучасної статті з провідних математичних журналів, то можна помітити, що статті структуруються шляхом поділу на відносно короткі фрагменти, які називаються визначеннями, теоремами (лема є підвидом теореми) й доказами. Ці фрагменти є основними будівельними блоками сучасного математичного тексту. Ця традиція організації математичного знання запозичена у греків (важливим джерелом були "Начала" Евкліда).

Визначенням називається пропозиція, у якій розкривається зміст нового поняття, тобто вказуються істотні ознаки цього поняття. Зазвичай визначення полягає у вказанні: найближчого роду, тобто множини об'єктів (предметів, понять), до якої належить це поняття; видової відмінності, тобто ознак, які відрізняють це поняття від інших понять цієї множини. Наприклад, трикутник, що має дві рівні сторони, називається рівнобедренним. Звичайно, що перш ніж давати визначення рівнобедреного трикутника, необхідно дати визначення трикутника як такого, визначити що таке сторона трикутника та які його сторони є рівними тощо.

Аксіоматична теорія побується з перелічення об'єктів, які вивчаються даною теорією, та деяких відношень (зв'язків, співвідношень) між ними. Такі об'єкти та відношення називаються основними (невизначеними, вихідними, початковими) поняттями даної теорії. Кожне поняття, яке не було визначене у списку основних понять, повинне бути точно визнечене (математика від грецького μάθημα означає дослівно "точне знання"). Іноді замість поняття точності говорять про суворість, таким чином, поняття повинне бути точно (суворо) визначеним.

Аксіоми - це вихідні (початкові) пропозиції, на основі яких доказуються інші пропозиції (теореми) даної теорії. У аксіомах дається опис відношень між основними поняттями або стверджується існування декотрого основного об'єкта. Множина аксіом є неявним визначенням основних понять, тобто вона дає можливість з певних понять, які знаходяться поза теорією, виділити ті, до яких застосовна дана аксіоматична теорія. У аксіоматична теорія складається з основних понять та аксіом (однак зазвичай нічого не говориться про логічні засоби, за допомогою яких пропонується конструювати цю теорію, тобто не дається вказань, як робити виведення з даної системи аксіом). Якщо у теорії, окрім аксіом й невизначених понять, наводяться також правила виведення з даної системи аксіом, то така теорія називається дедуктивною.

Зміст основних понять аксіоматичної теорії можна пояснити за допомогою множин: обирається відома чи побудована з спеціальних елементів множина елементи якої відіграють роль основних об'єктів аксіоматичної теорії; між елементами множини встановлюються відношення (зокрема, якщо у системі аксіом фігурують алгебричні операції, то ці операції потрібно встановити й у множині ); виконується перевірка виконання системи аксіом у множині (доказ).

Якщо ці умови виконуються, то множину називають інтерпретацією даної аксіоматичної теорії (системи аксіом). Таким чином, інтерпретація для даної аксіоматичної теорії - це будь-яка непуста множина для елементів якої встановлені основні відношення (зокрема, алгебричні операції), які задовільняють вимогам, що висуваються у аксіомах цієї теорії. Якщо у системі аксіом йде мова про декілька множин основних об'єктів, то й інтерпретація буде складатися з декількох множин. Інтерпретація системи аксіом Пеано вимагає наявності нескінченної множини, елементи якої можна було б назвати натуральними числами (одним з цих елементів повинна бути одиниця), на якій має бути визначене відношення слідування ("слідує за"). Система аксіом Пеано буде розглянута у наступному підрозділі про числові системи.

Таким чином, мета визначення - увести у розгляд математичний об'єкт, мета теореми - сформулювати властивості об'єкта чи відношень між об'єктами, а мета доказу - зробити ці твердження переконливими, представивши міркування поділеним на послідовність дрібних тверджень, кожне з яких обгрунтовується за допомогою "стандартних" засобів переконання. Тобто спочатку пояснюється про що йде мова, а потім - чому те, про що стверджується, є вірним.

Логічні операції

Заперечення - логічна операція, яка будь-якому висловлюванню ставить у відповідність висловлювання значення істинності якого визначеється значенням істинності висловлювання за наступним правилом: 1 0 0 1

Таке висловлювання позначається (читається "не ") і називається запереченням висловлювання Таким чином, висловлювання істинне лише тоді, коли висловлювання є хибним.

Кон'юнкція - це логічна операція, яка будь-яким двом висловлюванням ставить у відповідність складене висловлювання значення істинності якого визначеється значеннями істинності висловлювань та за наступним правилом: 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

Таке висловлювання позначається (читається " та ") і називається кон'юнкцією висловлювань та Як видно, висловлювання та у цьому визначенні є рівноправними і називаються кон'юнктивними членами висловлювання Таким чином, висловлювнання та істинне лише тоді, коли істинні обидва висловлювання та Для позначення кон'юнкції використовується також символ

Диз'юнкція - логічна операція, що ставить висловлюванням та у відповідність складене висловлювання значення істинності якого визначається значеннями істинності висловлювань та за наступним правилом: 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0

Таке висловлювання позначається (читається " або ") та називається диз'юнкцією висловлювань та При цьому висловлювання та є рівноправними і називаються диз'юнктивними членами висловлювання Таким чином, висловлювання істинне, зокрема, коли істинні обидва висловлювання та Іноді розглядається також логічна операція "виключне або" (позначається ), яка визначається тим, що істинне лише тоді, коли У зв'язку із цим диз'юнкцію можна назвати операцією "невиключного або".

Кон'юнкцію і диз'юнкцію називають також "логічним множенням" та "логічним додаванням" відповідно.

Імплікація - це логічна операція , яка будь-яким двом висловлюванням та ставить у відповідність складне висловлювання значення якого визначається значеннями істинності висловлювань та за наступним правилом: 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Таке висловлювання позначається (читається "якщо , то ") і називається імплікацією висловлювань та У цьому випадку висловлювання та не є рівноправними: їх не можна поміняти місцями, не змінюючи значення істинності імплікації (за довільного набору значень істинності висловлювань та ). Дійсно, якщо то a У зв'язку із цим висловлювання та у імплікації мають різні назви: називають причиною (антецедентом), - наслідком або логічним слідством (консеквентом). Таким чином, висловлювання хибне лише тоді, коли антецедент істинний, а консеквент - хибний. Говорять, що висловлювання є логічним слідством висловлювання якщо імплікація істинна. Якщо істинна, то також говорять, що тягне за собою

Еквіваленція - логічна операція, яка двом висловлюванням та ставить у відповідність складне висловлювання значення істинності якого визначається значеннями істинності висловлювань та за наступним правилом: 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Таке висловлювання позначається (читається " лише тоді, коли ") і називається еквіваленцією та При цьому висловлювання та повністю рівноправні, їх називають членами еквіваленції Таким чином, висловлювання істинне лише тоді, коли обидва та висловлювання мають однакове значення істинності. Еквіваленція позначається також

Рівносильність висловлювань. Важливим питанням щодо уведених операцій над висловлюваннями є питання їх однозначності. Адже однозначність є однією з основних властивостей алгебричних операцій. Зрозуміло, що не лише вирішити, але й чітко поставити це питання неможливо без з'ясування поняття рівності, однаковості двох висловлювань, тобто умов, за яких два висловлювання та можна розглядати у декотрому сенсі як одне й те саме висловлювання.

Висловлювання рівносильне висловлюванню символічно якщо та мають однакові значення істинності: Таким чином, усі логічні операції однозначні з точністю до рівносильності (тобто за умови, що результати операцій не вважаються різними, якщо вони рівносильні).