Число Пелля — ціле число, що є знаменником у нескінченній послідовності ланцюгових дробів для квадратного кореня з двох. Ця послідовність наближень починається дробами: , тобто перші числа Пелля — 1, 2, 5, 12 і 29. Чисельники тієї самої послідовності наближень є половинами супутних чисел Пелля або числами Пелля — Люка — нескінченої послідовності, що починається з 2, 6, 14, 34 і 82.
Обидві послідовності — числа Пелля і супутні числа Пелля — можуть бути обчислені за допомогою рекурентної формули, схожої на формули для чисел Фібоначчі, і обидві послідовності чисел зростають експоненційно, пропорційно степеню срібного перерізу . Крім використання в ланцюговому дробі наближень до квадратного кореня з двох, числа Пелля можна застосувати для пошуку квадратних трикутних чисел і для вирішення деяких комбінаторних задач перерахування.Наприклад, Селлерс (Sellers) в 2002 році показав, що кількість досконалих паросполучень в декартовому добутку шляхів і графу K4-e може бути обчислена як добуток числа Пелля на відповідне число Фібоначчі
Послідовність чисел Пелля відома з давніх часів, хоча Леонард Ейлер помилково приписав їх відкриття Джону Пеллю (як і рівняння Пелля). Числа Пелля — Люка названі на честь Едуара Люка, який вивчав ці послідовності. І числа Пелля, і супутні числа Пелля є окремими випадками послідовностей Люка.
Числа Пелля Числа Пелля задаються лінійним рекурентним співвідношенням:
і є окремим випадком послідовності Люка.
Перші кілька чисел Пелля , 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, … ().
Числа Пелля можна виразити формулою
Для великих значень n член домінує в цьому виразі, так що числа Пелля приблизно пропорційні степеням срібного перерізу , так само як швидкість зростання чисел Фібоначчі дорівнює степеням золотого перерізу.
Можливо і третє визначення — у вигляді матричної формули
Багато тотожностей можуть бути доведені з цих визначень, наприклад тотожність, аналогічне для чисел Фібоначчі,
як негайний наслідок матричної формули (підставляючи визначники матриць ліворуч і праворуч).Про матричну формулу і її наслідках дивіться Ерколано (Ercolano) (1979), Кілік (Kilic) і Таскі (Tasci) (2005). Інші тотожності для чисел Пелля наведені Хорадамом (Horadam) (1971) і Бікнелл (Bicknell) (1975).
Наближення до квадратного кореня з двох
Числа Пелля виникли історично з раціональних наближень до квадратного кореня з двох. Якщо два великих цілих x і y дають рішення рівняння Пелля
то їх відношення дає близьке наближення до . Послідовність наближень цього виду
де знаменник кожного дробу — число Пелля, а чисельник дорівнює сумі числа Пелля і його попередника в послідовності. Таким чином, наближення мають вигляд .
Наближення
цього типу було відомо математикам Індії в третьому-четвертому столітті до нашої ери.Це записано в Shulba Sutras. Дивіться, наприклад, Дутка (Dutka) (1986), який цитував Тібаута (Thibaut) (1875) Грецькі математики п'ятого століття до нашої ери також знали про це наближення.Дивись Кнорра (Knorr) (1976) з посиланням на п'яте століття, що відповідає твердженням Прокла, що числа відкрили піфагорійці. Повніші дослідження щодо знань давніх греків про ці числа дивись у Томпсона (Thompson) (1929), Ведова (Vedova) (1951), Ріденхоура (Ridenhour) (1986), Кнорра (Knorr) (1998), і Філепа (Filep) (1999). Платон посилається на чисельники як раціональні діаметри.Наприклад, у «Державі» Платона є посилання на «раціональний діаметр пчті», під яким Платон мав на увазі 7, чисельник наближення 7/5. У другому столітті нашої ери використовував терміни сторона і діаметр для опису знаменника і чисельника цієї послідовності.
Ці наближення можуть бути отримані з ланцюгового дробу :
Скінчена частина ланцюгового дробу дає апроксимацію у вигляді чисел Пелля. Наприклад,
Як писав Кнут (1994), факт апроксимації числами Пелля дозволяє використовувати їх для раціонального наближення до правильного восьмикутника з координатами вершин и . Усі вершини цього восьмикутника однаково віддалені від центру і формують майже однакові кути. Водночас точки , и формують восьмикутник, у якого вершини майже однаково віддалені від центру та мають однакові кути.
Прості й квадрати Простим числом Пелля називається число Пелля, що є також простим. Кілька перших простих чисел Пелля 2, 5, 29, 5741, … () Як і у випадку з числами Фібоначчі, число Пелля може бути простим тільки якщо n просте.
Є всього три числа Пелля, які є квадратами, кубами та іншими вищими степенями, — це 0, 1, і 169 = 132. Pethő (1992); Cohn (1996). Хоча числа Фібоначчі визначаються рекурентними формулами, дуже схожими на формули для чисел Пелля, Кон (Cohn) писав, що аналогічні результати для чисел Фібоначчі набагато складніше довести. Утім, їх довів у 2006 році Бюжо (Bugeaud).
Попри те, що серед чисел Пелля настільки мало квадратів та інших степенів, вони мають близький зв'язок із квадратними трикутними числами.Sesskin (1962). Ці числа виникають із такої тотожності:
Ліва частина цієї тотожності дає квадратне число, у той час як права частина дає трикутне число, так що в результаті отримаємо квадратне трикутне число.
Сантана (Santana) і Діац-Барреро (Diaz-Barrero) (2006) довели іншу тотожність, що пов'язує числа Пелля з квадратами. Вони показали, що сума чисел Пелля до завжди є квадратом:
Наприклад, сума чисел Пелля до , , є квадратом числа .
Числа , які утворюють квадратні корені таких сум, 1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, … (), відомі як .
Піфагорові трійки
Якщо прямокутний трикутник має сторони a, b, c (по теоремі Піфагора a2+b2=c2), то (a,b,c) відомі як піфагорові трійки. Мартін (Martin) (1875) писав, що числа Пелля можна застосувати для формування піфагорових трійок, в яких a і b відрізняються на одиницю, що відповідає майже рівнобедреному прямокутному трикутнику. Кожна така трійка має вигляд
Послідовність піфагорових трійок, отримана таким способом: (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….
Числа Пелля — Люка Супутні числа Пелля або числа Пелля — Люка визначаються лінійним рекурентним співвідношенням:
Тобто, перші два числа в послідовності рівні 2, а всі інші формуються як сума подвоєного попереднього числа Пелля — Люка та попереднього до нього, або, що еквівалентно, як сума наступного та попереднього чисел Пелля. Так, супутнім для 82 є число 29, і 82 = 2 · 34 + 14 = 70 + 12.
Супутні числа Пелля утворюють послідовність: 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, … ()
Супутні числа Пелля можна подати формулою:
Усі ці числа парні, кожне з них є подвоєним чисельником у наближенні раціональними числами до .
Обчислення та зв'язки
У таблиці наведено декілька перших степенів срібного перерізу і пов'язаного з ним . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Коефіцієнти являють собою половини супутніх чисел Пелля і числа Пелля , є невід'ємними розв'язками рівняння .
Квадратне трикутне число — це число , яке є як трикутним числом так і квадратним. Майже рівнобедрені піфагорові трійки є цілими розв'язками , де .
Наступна таблиця показує розкладання непарних на дві майже однакові половинки, що дає квадратне трикутне число, коли n парне, і майже рівнобедрену піфагорову трійку, коли n непарне.
tt+1sabc010000111011232121375345417128965412920212969970495035723916911912016985774082882892049139398569669798510336323781681168211891181195741405940605741121960113860980098016930
Визначення Половини супутніх чисел Пелля і числа Пелля можна отримати декількома еквівалентними шляхами:
Піднесення до степеня:
Звідки випливає:
і
Парні рекурентні відношення:
або, в матричному вигляді:
Таким чином
Наближення
Різниця і дорівнює , що швидко наближається до нуля.
Таким чином дуже близьке до .
Із цього спостереження випливає, що відношення цілих швидко наближається до у той час як и швидко наближається до .
H2 − 2P2 = ±1
Оскільки є ірраціональним, неможливо отримати , тобто . Найкраще, що ми можемо отримати, це або або .
Невід'ємними рішеннями є пари з парним n, і рішеннями є пари з n непарним.
Щоб зрозуміти це, зауважимо
так що, починаючи з знак чергується (). Зауважимо тепер, що кожне позитивне рішення можна отримати з рішення з меншим індексом завдяки рівності .
Квадратні трикутні числа
Необхідну рівність еквівалентно , що перетворюється в при підстановці і . Звідси n-м рішенням буде і
Зауважимо, що і взаємно прості, так що можливо тільки тоді, коли вони є сусідніми цілими, одне — квадрат й інше — подвоєний квадрат .
Оскільки ми знаємо всі рішення рівняння, ми отримуємо
і
tt+1sabc010111121101232896345375495035212029417122882892041191201695412916811682118969769698569970980098016930405940605741
Триплети Піфагора
Рівність вірно тільки при , що перетворюється в при підстановці . Тоді n-м рішенням є і
Таблиця вище показує, що з точністю до порядку і дорівнює і , в той час як
Див. також Рівняння Пелля
Примітки
Посилання