У цій статті вектори виділені жирним шрифтом, а їхні абсолютні величини — курсивом, наприклад, .
У класичній механіці вектором Лапласа — Рунге — Ленца називається вектор, який використовується переважно для опису форми та орієнтації орбіти, по якій одне небесне тіло обертається навколо іншого (наприклад, орбіти, по якій планета обертається навколо зорі). У випадку з двома тілами, взаємодія яких описується законом всесвітнього тяжіння Ньютона, вектор Лапласа — Рунге — Ленца є інтегралом руху, тобто його напрямок і величина є постійними незалежно від того, в якій точці орбіти вони обчислюються; кажуть, що вектор Лапласа — Рунге — Ленца зберігається при гравітаційній взаємодії двох тіл. Це твердження можна узагальнити для будь-якої задачі з двома тілами, що взаємодіють з допомогою центральної сили, яка змінюється обернено пропорційно до квадрату відстані між ними. Така задача називається задачею Кеплера.
Наприклад, такий потенціал виникає при розгляді класичних орбіт (без врахування квантування) у задачі про рух негативно зарядженого електрона, що рухається в електричному полі позитивно зарядженого ядра. Якщо вектор Лапласа — Рунге — Ленца заданий, то форма їхнього відносного руху може бути отримана з простих геометричних міркувань, з використанням законів збереження цього вектора та енергії.
Згідно з принципом відповідності вектор Лапласа — Рунге — Ленца має квантовий аналог, який був використаний у першому виводі спектра атому водню, ще перед відкриттям рівняння Шредінгера.
Задача Кеплера має незвичну особливість: кінець вектора імпульсу завжди рухається по колу. Через розташування цих кіл для заданої повної енергії задача Кеплера математично еквівалентна частинці, що вільно переміщується у чотиримірній сфері . За цією математичною аналогією, вектор Лапласа — Рунге — Ленца, що зберігається, еквівалентний додатковим компонентам кутового моменту в чотиримірному просторі.
Вектор Лапласа — Рунге — Ленца також відомий як вектор Лапласа, вектор Рунге — Ленца і вектор Ленца, хоча жоден із цих вчених не вивів його вперше. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца перевідкривався кілька разів. Він також еквівалентний безрозмірнісному вектору ексцентриситету в небесній механіці. Він так само не має ніякого загальноприйнятого позначення, хоча зазвичай використовується . Для різних узагальнень вектора Лапласа — Рунге — Ленца, які визначені нижче, використовується символ .
Контекст Одиночна частинка, що рухається під дією будь-якої консервативної центральної сили, має, принаймні, чотири інтеграли руху (які зберігаються при русі величини): повна енергія і три компоненти кутового моменту (вектора ). Орбіта частинки лежить у площині, яка визначається початковим імпульсом частинки, (або, що еквівалентно, швидкістю ) та координатами, тобто радіус-вектором між центром сили та частинкою (див. рис. 1). Ця площина перпендикулярна до постійного вектора , що може бути виражене математично з допомогою скалярного добутку .
Як визначено нижче, вектор Лапласа — Рунге — Ленца завжди розташовується у площині руху — тобто, для будь-якої центральної сили. Також є постійним лише для сили, що залежить обернено пропорційно до квадрату відстані. Якщо центральна сила приблизно залежить від оберненого квадрата відстані, вектор є приблизно постійним по довжині, але повільно обертається. Для більшості центральних сил, однак, цей вектор не є постійним, а змінює довжину та напрямок. Узагальнений вектор Лапласа — Рунге — Ленца , що зберігається, може бути визначений для всіх центральних сил, але цей вектор — складна функція положення та зазвичай не виражається аналітично в елементарних чи спеціальних функціях.
Історія Вектор Лапласа — Рунге — Ленца є величиною в задачі Кеплера, яка зберігається, і корисний при описі астрономічних орбіт, на зразок руху планети навколо Сонця. Однак він ніколи не був широко відомим серед фізиків, можливо, тому що є менш інтуїтивно зрозумілим вектором, ніж імпульс і кутовий момент. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца незалежно відкривали декілька разів за минулі три століття. був першим, хто показав, що зберігається для спеціального випадку центральної сили, яка залежить обернено пропорційно від квадрату відстані, і знайшов його зв'язок із ексцентриситетом еліптичної орбіти. Робота Германа була узагальнена до її сучасної форми Йоганном Бернуллі 1710 року. В свою чергу, П'єр-Симон Лаплас наприкінці XVIII століття відкрив збереження знову, довівши це аналітично, а не геометрично, як його попередники.
В середині XIX століття Вільям Гамільтон отримав еквівалент вектора ексцентриситету, визначений нижче, використавши його, щоб показати, що кінець вектора імпульсу рухається по колу під дією центральної сили, що залежить обернено пропорційно від квадрату відстані (рис. 3). На початку XX століття Віллард Гіббз отримав цей самий вектор з допомогою векторного аналізу. Вивід Гіббса використовував Карл Рунге в популярному німецькому підручнику з векторів як приклад, на який посилався у своїй статті про квантовомеханічний (старий) розгляд атома водню.
1926 року цей вектор використав Вольфганг Паулі, щоб вивести спектр атома водню, використовуючи сучасну матричну квантову механіку, а не рівняння Шредінгера. Після публікації Паулі вектор став відомим переважно як вектор Рунге — Ленца.
Математичне визначення
Для одиночної частинки, що рухається під дією центральної сили, як залежить обернено пропорційно від квадрату відстані та описується рівнянням , вектор Лапласа — Рунге — Ленца визначений математично за формулою
де — маса точкової частинки, що рухається під дією центральної сили, — вектор імпульсу, — вектор кутового моменту, — параметр, який описує величину центральної сили, — одиничний вектор, тобто , де радіус-вектор положення частинки, і його довжина.
Оскільки ми припустили, що сила консервативна, то повна енергія зберігається
Із центральності сили випливає, що вектор кутового моменту також зберігається і визначає площину, в якій частинка здійснює рух. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца перпендикулярний до вектора кутового моменту і, таким чином, розташовується у площині орбіти. Рівняння вірне, тому що вектори і перпендикулярні до .
Це визначення вектора Лапласа — Рунге — Ленца застосовне для єдиної точкової частинки з масою , що рухається в стаціонарному (що не залежить від часу) потенціалі. Крім того, те ж саме визначення може бути розширене на задачу з двома тілами, на кшталт задачі Кеплера, якщо замінити на зведену масу цих двох тіл і на вектор між цими тілами.
Коловий годограф імпульсу
Збереження вектора Лапласа — Рунге — Ленца і вектора кутового моменту використовується в доведенні того, що вектор імпульсу рухається по колу під дією центральної сили, що обернено пропорційна до квадрату відстані. Обчислюючи векторний добуток и , приходимо до рівняння для
Спрямовуючи вектор вздовж осі , а головну піввісь — по осі , приходимо до рівняння
Іншими словами, вектор імпульсу обмежений колом радіуса , центр якого розташований в точці з координатами . Ексцентриситет відповідає косинусу кута , показаного на рис. 2. Для спрощення можна ввести змінну . Коловий годограф корисний для опису симетрії задачі Кеплера.
Інтеграли руху та суперінтегровність Сім скалярних величин: енергія і компоненти векторів Лапласа — Рунге — Ленца та моменту імпульсу пов'язані двома співвідношеннями. Для векторів виконується умова ортогональності , а енергія входить до виразу для квадрату довжини вектора Лапласа — Рунге — Ленца, отриманого вище . Тоді існує п'ять незалежних величин, що зберігаються, або інтегралів руху. Це сумісно з шістьма початковими умовами (початкове положення частинки та її швидкість є векторами з трьома компонентами), які визначають орбіту частинки, оскільки початковий час не визначений інтегралами руху. Оскільки величину (та ексцентриситет орбіти) можна визначити з повного кутового моменту і енергії , то стверджується, що лише напрямок зберігається незалежно. Крім того, вектор повинен бути перпендикулярним до це приводить до однієї додаткової величини, що зберігається.
Механічна система з ступенями вільності може мати максимум інтегралів руху, оскільки початкових умов і початковий час не можуть бути визначені з інтегралів руху. Система з більш ніж інтегралами руху називається суперінтегровною, а система з інтегралами називається максимально суперінтегровною. Оскільки розв'язування рівняння Гамільтона — Якобі в одній системі координат може привести лише до інтегралів руху, то змінні повинні розділятися для суперінтегровних систем у більш ніж одній системі координат. Задача Кеплера — максимально суперінтегровна, оскільки вона має три ступені вільності () і п'ять незалежних інтегралів руху; змінні у рівнянні Гамільтона — Якобі розділяються у сферичних координатах і , як описано нижче. Максимально суперінтегровні системи можуть бути квантовані з використанням лише комутаційних співвідношень, як показано нижче.
Рівняння Гамільтона — Якобі в параболічних координатах Постійність вектора Лапласа — Рунге — Ленца можна вивести, використовуючи рівняння Гамільтона — Якобі в , які визначаються наступним чином
де — радіус у площині орбіти
Обернене перетворення цих координат запишеться у вигляді
Розділення змінних у рівнянні Гамільтона — Якобі в цих координатах дає два еквівалентних рівняння
де — інтеграл руху. Віднімаючи ці рівняння і виражаючи в термінах декартових координат імпульсу і можна показати, що еквівалентний вектору Лапласа — Рунге — Ленца
Цей підхід Гамільтона — Якобі може використовуватися для того, щоб вивести збережний узагальнений вектор Лапласа — Рунге — Ленца за наявності електричного поля
де — заряд частинки, яка обертається.
Альтернативне формулювання На відміну від імпульсу та кутового моменту , вектора Лапласа — Рунге — Ленца не має загальноприйнятого визначення. В науковій літературі використовуються декілька різних множників та символів. Найбільш загальне визначення наводиться вище, але інше визначення виникає після ділення на сталу , щоб отримати безрозмірнісний збережний вектор ексцентриситету
де — вектор швидкості. Напрямок цього масштабованого вектора збігається з напрямком , і його амплітуда дорівнює ексцентриситету орбіти. Ми отримаємо інші визначення, якщо поділимо на ,
чи на
який має ту ж розмірність, що і кутовий момент (вектор ). У рідкісних випадках, знак вектора Лапласа — Рунге — Ленца може бути змінений на протилежний. Інші загальні символи для вектора Лапласа — Рунге — Ленца включають , , , і . Однак вибір множника та символу для вектора Лапласа — Рунге — Ленца, звичайно ж, не впливає на його збереження.
Альтернативний збережний вектор: бінормаль — вектор вивчений Вільямом Гамільтоном
який зберігається та вказує вздовж малої півосі еліпса. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца є векторним добутком і (рис. 3). Вектор позначений як бінормаль, оскільки він перпендикулярний як до , так і до . Подібно до вектора Лапласа — Рунге — Ленца, вектор бінормалі можна визначити з різними множниками.
Два збережних вектора, та можна об'єднати у збережний двохелементний тензор
де позначає тензорний добуток, а і довільні множники. Записане в компонентному записі, це рівняння читається так
Вектори і ортогональні один до одного, і їх можна представити як головні осі збережного тензора , тобто як його власні вектори. перпендикулярний до
оскільки і перпендикулярні, то .
Виведення орбіт Кеплера
Форму та орієнтацію орбіти в задачі Кеплера, знаючи вектор Лапласа — Рунге — Ленца , можна визначити таким чином. Розглянемо скалярний добуток векторів і (положення планети):
де є кутом між і (рис. 4). Змінимо порядок множників у мішаному добутку , і після нескладних перетворень отримаємо визначення для конічного перетину:
з ексцентриситетом , заданим за формулою:
Приходимо до виразу квадрата модуля вектора у вигляді
який можна переписати, використовуючи ексцентриситет орбіти