Плоский модуль над кільцем R  — такий модуль, що тензорний добуток на цей модуль зберігає точні послідовності. Модуль називається строго плоским, якщо послідовність тензорних добутків точна тоді і тільки тоді, коли точною є вихідна послідовність.

Векторні простори, вільні і, більш загально, проєктивні модулі є плоскими. Для скінченнопороджених модулів над нетеровим кільцями плоскі модулі  — те ж саме, що проєктивні модулі. Для скінченнопороджених модулів над локальними кільцями все плоскі модулі є вільними модулями.

Поняття плоского модуля було введено Серром в 1955 році.

Означення Можна дати кілька еквівалентних означень плоского модуля. Нижче означення подані для комутативних кілець. (Лівий) -модуль називається плоским тоді і тільки тоді, коли функтор тензорного добутку є точним. Даний функтор переводить -гомоморфізм у -гомоморфізм який на елементах виду задається як і лінійно продовжується на весь тензорний добуток. Оскільки функтор тензорного добутку завжди є точним справа, попередню вимогу можна послабити. А саме, -модуль є плоским, якщо для будь-якого ін'єктивного гомоморфізма -модулів індуковане відображення також є ін'єктивним. Модуль є плоским, якщо для кожного скінченнопородженого ідеалу в кільці (з природним вкладенням ) індуковане відображення є ін'єктивним. Існує направлена множина -модулів з такими властивостями: Для всіх , є скінченнопородженим вільним -модулем. Індуктивна границя множини рівна : . Для будь-якої лінійної залежності в , , де , існує матриця така що має розв'язок для деякого . . Для будь-якого -модуля ,

де позначає функтор Tor.

Для будь-якого скінченнопородженого ідеала , . Для довільного відображення , де є скінченнопородженим вільним -модулем, і для довільного скінченнопородженого -підмодуля , розкладається через відображення у вільний -модуль для якого образ є нулем:

Властивості плоских модулів над комутативним кільцем

Пряма сума є плоским модулем тоді і тільки тоді, коли кожен модуль є плоским. Нехай є направленою системою плоских модулів над кільцем R, де I — направлена множина. Тоді індуктивна границя теж є плоским модулем. Теорема Говорова — Лазара: (лівий, правий) модуль M є плоским тоді і тільки тоді, коли він є індуктивною границею скінченнопороджених вільних модулів. Для будь-якої мультиплікативної системи S кільця R локалізація кільця S-1R є плоским R-модулем. Модуль M над комутативним кільцем R є плоским тоді і тільки тоді, коли для кожного простого ідеалу локалізація є плоским ідеалом і тоді і тільки тоді коли для кожного максимального ідеалу локалізація є плоским ідеалом. Скінченнопороджений модуль є плоским тоді і тільки тоді, коли він є локально вільним. Локально вільний модуль над кільцем R  — такий модуль M, що його локалізація за будь-яким простим ідеалом є вільним модулем над кільцем часток .

Плоскі модулі можна вказати на наступному ланцюжку включень:

Модулі без кручень ⊃ плоскі модулі ⊃ проєктивні модулі ⊃ вільні модулі.

Для деяких класів кілець правильними є і обернені включення: наприклад, кожен модуль без кручень над дедекіндовим кільцем є плоским, плоский модуль над кільцем Артіна є проєктивним і проєктивний модуль над областю головних ідеалів (або над локальним кільцем) є вільним. Якщо M є скінченнопредставленим модулем (тобто існує точна послідовність в якій K і F є скінченнопородженими модулями і F також вільним модулем) то M є плоским тоді і тільки тоді, коли він є проєктивним. Якщо додатково R є комутативним локальним кільцем, то M є вільним модулем. Для R-модуля еквівалентними M є такі твердження (які можна вважати означеннями строго плоских модулів): Послідовність R-модулів є точною тоді і тільки тоді, коли точною є послідовність Модуль M є плоским і для довільного R-модуля N, якщо то Модуль M є плоским і для довільного R-гомоморфізма , якщо породжений гомоморфізм є нульовим гомоморфізмом, то і Для строго плоского R-модуля M його анулятор є рівним нулю. Натомість плоский модуль із нульовим анулятором не обов'язково буде строго плоским, прикладом чого є -модуль . R-модуль M є строго плоским тоді і тільки тоді, коли він є плоским і для кожного максимального ідеалу Якщо кільце S є R-алгеброю, тобто існує гомоморфізм , то S є строго плоским R-модулем тоді і тільки тоді, коли кожен простий ідеал кільця R є прообразом під дією f деякого простого ідеалу з S, тобто коли відображення є сюр'єктивним (див. статтю Спектр кільця). Нехай, як і вище, S є R-алгеброю і вона є строго плоским R-модулем. Якщо є скінченнопородженим (скінченнопредставленим) S-модулем, то і M є скінченнопородженим (скінченнопредставленим) R-модулем. При позначеннях попередньої властивості якщо є скінченнопородженим проєктивним S-модулем, то і M є скінченнопородженим проєктивним R-модулем.

Категорні кограниці

Прямі суми і індуктивні границі плоских модулів є плоскими. Це випливає з того факту, що тензорний добуток комутує з прямими сумами і індуктивними границями (більше того, воно комутує з усіма кограницями). Підмодулі і фактор-модулі плоского модуля не обов'язково є плоскими (наприклад, плоским не є модуль Z/2 Z). Проте якщо підмодуль плоского модуля є в ньому прямим доданком, то фактор за ним є плоским.

Модуль є плоским тоді і тільки тоді, коли він є індуктивною границею скінченнопороджених вільних модулів. З цього випливає, зокрема, що кожен скінченнопредставлений плоский модуль є проєктивним.

Приклади Оскільки для кільця R і довільного R-модуля M виконується то R є плоским R-модулем. Відповідно це ж буде справедливим і для довільного вільного модуля над кільцем R. Оскільки є локалізацією кільця за мультиплікативною множиною то є плоским -модулем. Це є прикладом плоского але не проєктивного модуля. Також це є прикладом плоского модуля із нульовим анулятором, який не є строго плоским. Дійсно, наприклад, але

Для будь-якого цілого числа не є плоским над оскільки є ін'єктивним, але похідне відображення на тензорному добутку з не є ін'єктивним.

Модуль не є плоским над

Для кільця многочленів над нетеровим кільцем і многочлена , що не є дільником нуля, є плоским над якщо і тільки якщо є примітивним многочленом.

Для нетерового кільця і його ідеалу поповнення за ідеалом є плоским. Воно є строго плоским тоді і тільки тоді, коли міститься у радикалі Джекобсона кільця .

Гомологічна алгебра Властивість «плоскості» модуля можна виразити за допомогою функтора Tor, лівого похідного функтора для тензорного добутку. Лівий R- модуль M є плоским тоді і тільки тоді, коли TornR(-,M) = 0 для всіх (тобто коли TornR(X, M) = 0 для всіх і всіх правих R-модулів X), означення плоского правого модуля є аналогічним. Використовуючи цей факт, можна довести кілька властивостей короткої точної послідовності модулів:

Якщо A і C плоскі, то і B плоский. Якщо B і C плоскі, то і A є плоским.

Якщо A і B плоскі, C в загальному випадку не є плоским. Однак: Якщо A  — прямий доданок модуля B і B є плоским, то A і C плоскі.

Плоскі резольвенти Плоска резольвента модуля M  — це резольвента виду … → F2 → F1 → F0 → M → 0 де всі Fi є плоскими модулями. Плоскі резольвенти використовуються при обчисленні функтора Tor.

Довжина плоскої резольвенти  — це найменший індекс n, такий що Fn не дорівнює нулю і Fi = 0 для всіх i, що є більшими за n. Якщо модуль M має скінченну плоску резольвенту, її довжина називається плоскою розмірністю модуля. , в іншому випадку говорять, що плоска розмірність нескінченна. Наприклад, якщо модуль M має плоску розмірність 0, то з точністю послідовності 0 → F0 → M → 0 випливає, що M є ізоморфним F 0 , тобто є плоским.

Див. також Вільний модуль Проєктивний модуль Скрут (алгебра)

Примітки

Література Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971.

Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. ISBN 0-521-25916-9