Зв'язність на векторних розшаруваннях в диференціальній геометрії дозволяє ввести на довільних векторних розшаруваннях такі поняття як паралельне перенесення, тензори кривини і кручення і інші. Таким чином значна частина теорії і ідей може бути перенесена з гладких многовидів і їх дотичних розшарувань на векторні розшарування. Для зв'язності на векторних розшарування часто також використовується термін зв'язність Кошуля на честь французького математика Жана-Луї Кошуля.
Означення Нехай E → M — гладке векторне розшарування над диференційовним многовидом M. Позначимо множину гладких перетинів розшарування E як Γ(E). Звязністю на E називається ℝ-лінійне відображення
для якого також виконується правило добутку
для всіх гладких функцій f на многовиді M і всіх гладких перетинів σ розшарування E.
Зважаючи на властивості тензорних добутків векторних розшарувань і їх перетинів для області значень також можна дати еквівалентні інтерпретації:
де другий тензорний добуток та множина лінійних відображень визначені для модулів над кільцем гладких функцій на многовиді M, а позначає множину диференціальних 1-форм на M.
Зокрема, розглядаючи останній термін в цій еквівалентності, якщо X є векторним полем на M (тобто гладким перетином дотичного розшарування TM) можна ввести коваріантну похідну за напрямком X:
прийнявши ∇Xσ = (∇σ)(X). Дана коваріантна похідна задовольняє властивості:
Навпаки кожен оператор, що задовольняє ці властивості визначає зв'язність на E. Тобто еквівалентно зв'язність можна визначити як оператор
що задовольняє вказані умови.
Форма зв'язності Нехай тепер — відкрита підмножина, така що є тривіальним векторним розшаруванням. Якщо — гладкі перетини, такі що для кожної точки вектори утворюють базис векторного простору (такі множини перетинів називаються реперами на ), то з використанням позначень вище елементи тензорного добутку можна записати як для деяких
Відповідно для зв'язності на розшаруванні E на обмеженні можна записати:
де — елементи матриці, що називається формою зв'язності для і позначається A.
Навпаки для довільної матриці елементи якої належать і репера на , формула вище визначає зв'язність на
Оскільки можна однозначно записати як де , то отримуємо:
Побудова нових зв'язностей зі старих Зворотне відображення. З гладким відображенням пов'язане векторне розшарування на , що позначається шаром якого в точці є шар E в точці . Зв'язність на E індукує зв'язність на . Для гладкого перетину s на E і для вектора , можна визначити :. Локальні перетини на породжуються перетинами виду і тому зв'язність визначена попередньою формулою лише для деяких перетинів продовжується до зв'язності визначеної всюди. Вона і називається зворотним відображенням зв'язності . Якщо і — зв'язності визначені відповідно на векторних розшаруваннях E=E1 і E2 з єдиним базисним простором M, то також можна ввести зв'язності : Зв'язність на прямій сумі , що позначається : ; Зв'язність на тензорному добутку , що позначається : ; Зв'язність на двоїстому розшаруванні E* : ; Зв'язність на розшаруванні : .
Паралельне перенесення Нехай додатково до всіх понять введених вище також — гладка крива і — відповідне дотичне поле. Довільний гладкий перетин тоді індукує перетин вздовж кривої
Зв'язність однозначно визначає оператор значення якого теж є гладким перетином вздовж кривої.
Перетин називається паралельним вздовж кривої , якщо виконується умова
Паралельний вздовж кривої перетин має задовольняти систему диференціальних рівнянь і з теорії цих рівнянь випливає існування і єдиність такого перетину для заданого початкового значення Таким чином для даної кривої визначено відображення з векторного простору у векторний простір , яке загалом залежить від кривої, що сполучає точки і введеної на розшаруванні зв'язності. Визначене таким чином відбраження є лінійним ізоморфізмом цих просторів. Більш загально лінійний ізоморфізм визначений між простором і просторами над усіма точками кривої . Ці відображення називають паралельними перенесенями векторів з вздовж кривої
Оператори вищих порядків Нехай E → M — векторне розшарування. На ньому можна визначити простори векторозначних диференціальних форм
Нехай також за означенням
Тоді в цих позначеннях зв'язність на E → M є лінійним відображенням
На просторах можна ввести добуток. Нехай — векторні розшарування над многовидом M. Тоді можна ввести білінійний добуток
прийнявши
Також для множина є ізоморфною до множини .
Тоді існує єдина множина лінійних операторів
для яких виконуються умови:
А саме для дане відображення однозначно визначене як:
Ці відображення можна розглядати як узагальнення зовнішньої похідної, проте у цьому випадку не обов'язково (d∇)2 = 0. Натомість оператор (d∇)2 є пов'язаним з кривиною у векторних розшаруваннях.
Кривина Кривиною зв'язності ∇ на E → M є 2-форма F∇ на M із значеннями в розшаруванні ендоморфізмів End(E) = E⊗E*. Тобто
Її можна визначити рівністю
де X іY є векторними полями на M, а s є гладким перетином E.
Еквівалентно Дане відображення є -лінійним гомоморфізмом модулів.
Див. також Афінна зв'язність Векторне розшарування Зв'язність (диференціальна геометрія) Зв'язність на головних розшаруваннях Зв'язність Леві-Чивіти
Література