Дискримінант системи елементів поля — одна з важливих конструкцій в теорії розширень полів, що є особливо важливою для числових полів і відповідно має широке застосування у алгебричній теорії чисел.

Означення Нехай скінченне розширення поля степеня . Відображення де , a — слід елемента є симетричною білінійною формою на полі , що розглядається як лінійний простір над . Дискримінант цієї білінійної форми щодо системи елементів з називається дискримінантом системи і позначається . Тобто, .

Зокрема, якщо зазначена система є базисом над , то її дискримінант називається дискримінантом базиса над .

Наведені означення можуть бути перенесені також на випадок довільної скінченновимірної асоціативної алгебри над полем на випадок кілець і модулів над ними.

Поля алгебричних чисел Нехай — поле раціональних чисел, — поле алгебричних чисел і — деяка ґратка рангу . Тоді для будь-яких двох базисів ґратки значення дискримінанта є однаковими і це загальне значення дискримінант називається дискримінантом ґратки .

Якщо є кільцем цілих чисел поля , то дискримінант ґратки називається просто дискримінантом поля і позначається . Число , є важливою характеристикою поля .

Зазначене означення дискримінанта ґратки в полі алгебричних чисел може бути узагальнене на випадок, коли — поле часток дедекіндового кільця , a — скінченне сепарабельне розширення поля степеня . Нехай — ціле замикання кільця в і — довільний дробовий ідеал кільця . Тоді дискримінантом ідеалу називається -модуль , породжений всіма дискримінантами виду , де пробігає усі базиси поля над , що належать . буде дробовим ідеалом кільця . У випадку для також використовуються позначення і . У цьому випадку є ідеалом кільця .

Зокрема якщо — кільце головних ідеалів і , то є вільним модулем над розмірності і є головним ідеалом, породженим дискримінантом довільного базиса над . Кожен такий базис є також базисом розширення і два такі дискримінанти відрізняються добутком на оборотний елемент, тобто породжують однаковий ідеал. Зокрема це справедливо для і . У випадку коли не є кільцем головних ідеалів, може не бути вільним модулем і може не бути головним ідеалом.

Властивості

Дискримінанти двох базисів відрізняються множником, що є квадратом деякого ненульового елемента поля . Дійсно якщо і — два такі базиси і — матриця переходу між ними, то, . Тому з властивостей визначника випливає, що . Дискримінант будь-якого базису над не дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли розширення є сепарабельним. Якщо — многочлен степеня , що є мінімальним многочленом елемента із сепарабельного розширення , то збігається із стандартним дискримінантом многочлена . У разі сепарабельного розширення дискримінант базиса може бути обчислений за формулою

де — усі різні вкладення у фіксоване алгебричне замикання поля , що залишають нерухомими елементи .

Дискримінанти числового поля Теорема Бриля: Знак дискримінанта числового поля є рівним де є кількістю спряжених пар вкладень у поле комплексних чисел. Просте число розгалужується у якщо і тільки якщо ділить . Теорема Штікельбергера:

Обмеження Мінковського: Нехай — степінь розширення і — кількість спряжених пар вкладень у поле комплексних чисел. Тоді

Теорема Мінковського: Якщо не є рівним , то . Теорема Ерміта — Мінковського:Нехай — додатне ціле число. Тоді існує лише скінченна кількість (з точністю до ізоморфізму) алгебричних числових полів для яких . Якщо — кількість дійсних і спряжених пар комплексних вкладень. Тоді

де — дзета-функція Дедекінда, — порядок групи класів ідеалів, — регулятор поля і — кількість коренів з одиниці в полі .

Дискримінанти дробових ідеалів і скінченних розширень кілець Дедекінда Тут всюди — кільце дедекінда з полем часток , — скінченне сепарабельне розширення поля степеня , — ціле замикання кільця в і — довільний дробовий ідеал кільця . є дробовим ідеалом кільця і має місце рівність , де — норма ідеалу . Дискримінант збігається з нормою диферента кільця над . Якщо — мультиплікативна підмножина то , де у нижньому індексі позначає локалізацію по мультиплікативній системі.

Приклади Квадратичні поля: нехай вільне від квадратів ціле число. Тоді дискримінант поля є рівним

Кругові поля: нехай — ціле число і — n-не кругове поле. Дискримінант цього поля є рівним

де — функція Ейлера і добуток береться по всіх простих числах, що ділять .

Див. також Визначник Дискримінант Слід (теорія полів)

Література