Біцентричний чотирикутник — це опуклий чотирикутник, який має як вписане коло, так і описане коло. З визначення випливає, що біцентричні чотирикутники мають всі властивості як описаних чотирикутників, так і вписаних чотирикутників. Інші назви цих чотирикутників: хордо-дотичний чотирикутник і вписано-описаний чотирикутник.
Якщо два кола, одна усередині іншого, є вписаним колом і описаним колом деякого чотирикутника, то будь-яка точка на описаному колі є вершиною якогось (можливо, іншого) біцентричного чотирикутника, який має ті самі вписане та описане колаEric Weisstein, Bicentric Quadrilateral at MathWorld, , Accessed on 2011-08-13.. Це наслідок поризму Понселе, який довів французький математик Жан-Віктор Понселе (1788-1867).
Спеціальні випадки
Прикладами вписано-описаних чотирикутників є квадрати, прямокутні дельтоїди і рівнобічні описані трапеції.
Опис
Опуклий чотирикутник ABCD зі сторонами a, b, c, d є біцентричним тоді і тільки тоді, коли протилежні сторони задовольняють теоремі Піто для описаних чотирикутників і властивості вписаних чотирикутників, що протилежні кути в сумі дають 180 градусів, тобто,
Три інших описи стосуються точок, в яких вписане коло в описаному чотирикутнику дотикається до сторін. Якщо вписане коло дотикається сторін AB, BC, CD і DA в точках W, X, Y і Z відповідно, то описаний чотирикутник ABCD є також і описаним в тому і тільки в тому випадку, коли виконується будь-яка з таких трьох умов:
Відрізок WY перпендикулярний до XZ
Перша з цих трьох умов означає, що контактний чотирикутник WXYZ є ортодіагональним чотирикутником.
Якщо E, F, G, H є серединами WX, XY, YZ, ZW відповідно, то описаний чотирикутник ABCD також є описаним тоді і тільки тоді, коли чотирикутник EFGH є прямокутником.
Відповідно до іншого опису, якщо I є центром вписаного кола описаного чотирикутника, у якого продовження протилежних сторін перетинаються в точках J і K, то чотирикутник є описаним тоді і тільки тоді, коли JIK є прямим кутом.
Ще однією необхідною і достатньою умовою є те, що описаний чотирикутник ABCD є описаним тоді і тільки тоді, коли його пряма Гаусса перпендикулярна до прямої Гаусса його контактного чотирикутника WXYZ. (Пряма Гаусса чотирикутника визначається середніми точками його діагоналей.)
Побудова
Є простий метод побудови біцентричного чотирикутника:
Побудова починається зі вписаного кола Cr з центром I і радіусом r, потім малюємо дві перпендикулярні між собою хорди WY і XZ у вписаному колі Cr. На кінцях хорд проводимо дотичні a, b, c і d до вписаного кола. Вони перетинаються в точках A, B, C і D, які є вершинами біцентричного чотирикутника. Щоб намалювати описане коло, малюємо два перпендикулярні бісектори[en]Бисектор відрізка — це пряма, що проходить через його середину p1 і p2 на сторонах біцентричного чотирикутника a і b відповідно. Перпендикулярні бісектори p1 і p2 перетинаються в центрі O описаного кола CR на відстані x від центру I вписаного кола Cr. Описане коло може бути описане навколо центру O.
Правильність цієї побудови випливає з факту, що в описаному чотирикутнику ABCD контактний чотирикутник WXYZ має перпендикулярні діагоналі тоді і тільки тоді, коли описаний чотирикутник є також вписаним.
Площа
Формули в термінах чотирьох величин Площу K біцентричного чотирикутника можна виразити в термінах чотирьох величин чотирикутника кількома способами. Якщо a, b, c і d є сторонами, то площа задається формулою
Це окремий випадок формули Брамагупти. Формулу можна отримати і прямо з тригонометричної формули площі описаного чотирикутника. Зауважимо, що зворотне не виконується — деякі чотирикутники, які не є біцентричними також мають площу . Прикладом такого чотирикутника є прямокутник (з різними сторонами, не квадрат).
Площа може бути виражена в термінах відрізків від вершини до точки дотику (для стислості будемо називати ці довжини дотичними довжинами) e, f, g, h
Формула площі біцентричного чотирикутника ABCD з центром вписаного кола I
Якщо біцентричний чотирикутник має дотичні хорди k, l і діагоналі p, q, тоді він має площу
Якщо k, l є дотичними хордами і m, n є бімедіанами чотирикутника, тоді площа може бути обчислена за допомогою формули.
Формула не може бути використана, якщо чотирикутник є прямокутним дельтоїдом, оскільки в цьому випадку знаменник дорівнює нулю.
Якщо M і N є серединами діагоналей, а E і F є точками перетину продовження сторін, то площа біцентричного чотирикутника задається формулою
де I є центром вписаного кола.
Формули в термінах трьох величин Площу біцентричного чотирикутника можна виразити в термінах двох протилежних сторін і кута θ між діагоналями згідно з формулою
У термінах двох суміжних кутів і радіуса r вписаного кола площа задається формулою
Площа задається в термінах радіуса R описаного кола і радіуса r вписаного кола як
де θ є будь-яким з кутів між діагоналями.
Якщо M і N є середніми точками діагоналей, а E і F є точками перетину продовжень протилежних сторін, площу можна виразити формулою
де Q є основою перпендикуляра на пряму EF з центра вписаного кола.
Нерівності Якщо r і R є радіусом вписаного кола і радіусом описаного кола відповідно, тоді площа K задовольняє нерівності
Рівність отримаємо тільки якщо чотирикутник є квадратом.
Іншою нерівністю для площі будеInequalities proposed in , 2007.
де r і R є радіусом вписаного кола і радіусом описаного кола відповідно.
Схожа нерівність, що дає точнішу верхню межу для площі, ніж попередня
і рівність досягається тоді і тільки тоді, коли чотирикутник є прямокутним дельтоїдом[en].
Крім того, зі сторонами a, b, c, d і півпериметром s:
Формули кутів Якщо a, b, c і d є довжинами сторін AB, BC, CD і DA відповідно у біцентричному чотирикутнику ABCD, то його кути у вершинах можна обчислити за допомогою тангенса:
Якщо використати ті ж позначення, виконуються такі формули для синусів і косинусів:
Кут θ між діагоналями можна обчислити за формулою.
Радіус вписаного кола і радіус описаного кола Радіус вписаного кола r біцентричного чотирикутника визначається сторонами a, b, c, d за формулою
Радіус описаного кола R є окремим випадком формули Парамешвари
Радіус вписаного кола можна виразити також у термінах послідовних дотичних довжин e, f, g, h за формулою.
Ці дві формули, фактично, є необхідними і достатніми умовами для описаного чотирикутника з радіусом вписаного кола r бути вписаним.
Чотири сторони a, b, c, d біцентричного чотирикутника є розв'язками рівняння четвертого степеня[en]
де s є півпериметром, а r і R є радіусами вписаного і описаного кіл відповідно.
Якщо є біцентричний чотирикутник з радіусом вписаного кола r, дотичні довжини якого дорівнюють e, f, g, h, то існує біцентричний чотирикутник з радіусом вписаного кола rv, дотичні довжини якого дорівнюють , де v можуть бути будь-яким дійсним числом.
Біцентричний чотирикутник має більший радіус вписаного кола, ніж будь-який інший описаний чотирикутник, що має ті самі довжини сторін в тій самій послідовності.
Нерівності Радіус описаного кола R і радіус вписаного кола r задовольняють нерівності
яку довів Л. Фейєш Тот у 1948. Нерівність перетворюється на рівність тільки якщо два кола концентричні (центри збігаються). У цьому випадку чотирикутник є квадратом. Нерівність можна довести кількома різними шляхами, один з шляхів використовує подвійну нерівність для площі вище.
Узагальненням попередньої нерівності є.
де нерівність перетворюється на рівність тоді і тільки тоді, коли чотирикутник є квадратом.
Півпериметр s біцентричного чотирикутника задовольняє
де r і R є радіусом вписаного кола і радіусом описаного кола відповідно.
Більше того,
і
Відстань між центром вписаного кола і центром описаного кола
Теорема Фусса Теорема Фусса дає зв'язок між радіусом вписаного кола r, радіусом описаного кола R і відстанню x між центром вписаного кола I і центром описаного кола O, для будь-якого біцентричного чотирикутника. Зв'язок задається формулою.
Або, еквівалентно,
Формулу вивів (1755-1826) у 1792 році. Розв'язуючи відносно x, отримаємо
Теорема Фусса для вписано-описаних чотирикутників, яка є аналогом теореми Ейлера для трикутників, стверджує, що якщо чотирикутник біцентричений, то його два асоційовані кола пов'язані наведеною вище формулою. Фактично, зворотне також виконується, якщо дано два кола (одне усередині іншого) з радіусами R і r і відстань x між їхніми центрами задовольняє умові теореми Фусса, існує опуклий чотирикутник вписаний в одне з кіл, а інше коло буде вписане в чотирикутник (а тоді за теоремою Понселе, існує нескінченно багато таких чотирикутників).
Якщо скористатись фактом, що у виразі теореми Фусса, отримаємо іншим способом вже згадану нерівність Узагальненням нерівності буде
Тотожність Карліца Інша формула відстані x між центрами вписаного кола і описаного кола належить американському математику Леонарду Карліцу (1907-1999). Формула стверджує, що.
де r і R є радіусом вписаного кола і радіусом описаного кола відповідно, і
де a, b, c, d є сторонами біцентричного чотирикутника.
Нерівності для дотичних довжин і сторін Для дотичних довжин e, f, g, h виконуються такі нерівності:
і
де r є радіусом вписаного кола, R є радіусом описаного кола, а x є відстанню між центрами цих кіл. Сторони a, b, c, d задовольняють нерівностям
і
Інші властивості центру вписаного кола Центр описаного кола, центр вписаного кола і точка перетину діагоналей у біцентричному чотирикутнику колінеарні.Bogomolny, Alex, Collinearity in Bicentric Чотирикутники , 2004.
Є така рівність щодо чотирьох відстаней між центром вписаного кола I і вершинами біцентричного чотирикутника ABCD:Juan Carlos Salazar, Fuss Theorem for Bicentric Quadrilateral, 2003, .
де r — радіус вписаного кола.
Якщо точка P є перетином діагоналей у біцентричному чотирикутнику ABCD з центром вписаного кола I, то 34 (2008) no 4, p. 242.
Є нерівність для радіуса r вписаного кола і радіуса описаного кола R у біцентричному чотирикутнику ABCD
де I є центром вписаного кола.
Властивості діагоналей Довжини діагоналей у біцентричному чотирикутнику можна виразити в термінах сторін або дотичних довжин. Ці формули правильні для вписаних чотирикутників і описаних чотирикутників відповідно.
У біцентричному чотирикутнику з діагоналями p і q виконується тотожність:
де r і R є радіусом вписаного кола і радіусом описаного кола відповідно. Цю тотожність можна переписати як
або, розв'язавши її як квадратне рівняння відносно добутку діагоналей, отримаємо
Є нерівність для добутку діагоналей p, q у біцентричному чотирикутнику
де a, b, c, d — сторони. Нерівність довів Мюррей С. Кламкін у 1967.
Див. також Біцентричний многокутник
Примітки
Література