У геометрії, полюс і поляра є відповідно точка та пряма, які перебувають в унікальному відношенні відносно певного конічного перерізу.
Для певного кола, взаємність у колі означає перетворення кожної точки на площині у її поляру та кожної прямої на площині у її полюс.
Характеристики Полюси та поляри мають декілька корисних характеристик:
Якщо точка P лежить на прямій l, тоді полюс L прямої l лежить на полярі p точки P. Якщо точка P рухається вздовж прямої l, її поляра p обертається навколо полюса L прямої l. Якщо з полюса до конічного перетину можна провести дві дотичні прямі, тоді його поляра проходить через обидві точки дотику. Якщо точка лежить на конічному перетині, її поляра є дотичною в цій точці до конічного перетину. Якщо точка P лежить на власній полярі, то P розташована на конічному перетині. Кожна лінія має, відносно невиродженого конічного перетину, лише один полюс.
Окремі випадки кіл
Полюсом прямої L у колі C є точка P, яка є інверсією у колі C точки Q на L, яка найближча до центру кола. І навпаки, полярна лінія (або поляра) точки P відносно кола C є лінією L, такою, що її найближча до центра кола точка Q є інверсією точки P у C.
Відношення між полярами і полюсами є взаємними. Тобто, якщо точка A лежить на полярі q іншої точки Q, тоді Q повинна лежати на полярі a точки A. Дві полярні лінії a і q не обов'язково є паралельними.
Є інший опис полярної лінії точки P у випадку, коли вона лежить за межами кола C. У цьому випадку, через P проходять дві прямі, які є дотичними до кола, і поляра точки P є лінією, що проходить через дві точки дотику. Це показує, що поляра та полюс є концепціями площини у проєктивній геометрії і узагальнюються на будь-який несингулярний конічний перетин замість кола C.
Взаємність і проєктивна дуальність
Концепції полюса та його полярної лінії отримали розвиток у проєктивній геометрії. Наприклад, полярна лінія може розглядатись як набір проєктивних гармонійних сполучених точок для заданої точки (полюса) відносно конічного перетину. Операція заміни кожної точки її полярною лінією і навпаки відома як полярність.
Полярність — це кореляція, яка також є інволюцією.
Загальні конічні перетини
Концепції полюса, поляри і взаємність можна узагальнити з кіл на інші конічні перетини: еліпс, гіперболу й параболу. Це узагальнення можливе, оскільки конічні перетини є результатом взаємності кола в іншому колі, а пов'язані характеристики, такі як інцидентність та подвійне відношення, зберігаються за всіх проєктивних перетворень.
Розрахунок поляри до точки Конічний перетин можна задати як рівняння другого ступеня у декартовій системі координат (x, y) площини
де Axx, Axy, Ayy, Bx, By і C є сталими, які визначають рівняння. Для такого конічного перетину, полярна лінія до заданої точки (полюса) (ξ, η) визначається рівнянням
де D, E і F така само є сталими, які залежать від координат полюса (ξ, η)
Розрахунок полюса прямої Полюс прямої , відносно невиродженого конічного перетину
можна розрахувати за два кроки.
Спочатку розраховуються числа x, y і z з
Тоді полюс — це точка з координатами
Застосування Полюси та поляри визначив та використав для розв'язання задачі Аполлонія.
У площинній динаміці полюс є центром обертання, поляра — лінією дії сили, а конічний перетин є матрицею маса-інерція.John Alexiou Thesis, Chapter 5, pp. 80–108 Це відношення полюс-поляра використовується для визначення плоского твердого тіла. Якщо полюс є центром обертання, тоді поляра є лінією удару як описано в площинному гвинтовому численні.
Див. також
Дуальний многогранник
Проєктивна геометрія Гармонійна четвірка
Джерела
The paperback version published by Dover Publications has the .
Примітки
Посилання
Інтерактивна анімація з численними полярами і полюсами на Cut-the-Knot Інтерактивна анімація з одним полюсом та його полярою Interactive 3D with coloured multiple poles/polars — open source
Tutorial at Math-abundance