У математиці внутрішньою похідною називається диференціювання порядку −1 на зовнішній алгебрі диференціальних форм на диференційовному многовиді. Внутрішня похідна залежить від векторного поля X і позначається ιXω або .Символ ⨼ є U+2A3C у Unicode

Означення

Внутрішня похідна для векторного поля X на многовиді M є оператором

для якого образом диференціальної p-форми ω є (p−1)-форма ιXω для якої

для всіх векторних полів X1, ..., Xp−1.

Хоча внутрішня похідна переважно застосовується для диференціальних форм, аналогічне означення також можна дати для коваріантних і змішаних тензорів.

Властивості

Внутрішня похідна є єдиним диференціюванням порядку −1 на зовнішній алгебрі для якого для всіх 1-форм α

Антисиметричність. Для довільної диференціальної форми ω (для інших типів тензорів властивість у загальному випадку невірна):

Для p-форми ω за означенням

На множині диференціальних форм подібно до того як для зовнішньої похідної .

Для p-форми ω за означенням

Із лінійності тензорів випливає, що для довільних векторних полів X і Y і диференційовної функції f на многовиді:

і

Якщо β є p-формою, а γ — довільною диференціальною формою, то

Тобто внутрішня похідна задовольняє градуйоване правило Лейбніца. Нехай є диференціальною q-формою. Тоді буде (p+q)-формою, а — (p+q-1)-формою. Нехай X2, ..., Xp + q є довільними векторними полями і позначатимемо також X = X1. Тоді За означенням зовнішнього добутку можна записати: , де пробігає множину таких перестановок, що і а позначає знак перестановки. Зрозуміло, що для кожної такої або або і загальна сума є рівною сумі для перестановок першого типу і перестановок другого типу. Позначимо ці типи перестановок і Якщо для кожної позначити як відповідну перестановку чисел 2, ..., p + q одержану вилученням числа 1, то тоді для перестановок типу також і , а для перестановок типу відповідно і

Окрім того для типу знаки перестанок і є однаковими, а для типу маємо Із цими позначеннями:

Загальна сума дає необхідний результат.

Для внутрішньої похідної, похідної Лі і будь-яких векторних полів , на множині коваріантних тензорів задовольняється рівність

Нехай є p-коваріантним тензором. Тоді для довільних векторних полів за означенням:

З іншого боку

Остаточно

Внутрішня похідна пов'язана із зовнішньою похідною і похідною Лі для диференціальних форм формулою Картана:

Для випадку диференційовних функцій а також і що доводить необхідну рівність. Для диференційовної p-форми (p > 0) і довільних векторних полів згідно означень:

З іншого боку:

Додаючи ці вирази одержуємо:

Примітки

Див. також

Диференціальна форма Зовнішня похідна Похідна Лі

Література