Симетрична функція від n змінних — це функція, значення якої на будь-якому n-кортежі аргументів таке саме, як і значення на будь-якій перестановці цього n-кортежу. Якщо, наприклад , функція може бути симетричною на всіх змінних або парах , або . Хоча це може стосуватися будь-яких функцій, для яких n аргументів мають одну і ту саму область визначення, найчастіше мають на увазі многочлени, які в цьому разі є симетричними многочленами. Поза многочленами теорія симетричних функцій бідна і мало використовується.

Симетризація Якщо задано деяку функцію f від n змінних зі значеннями в абелевій групі (тобто в групі з комутативною операцією), симетричну функцію можна побудувати підсумовуванням значень f за всіма перестановками аргументів. Аналогічно, антисиметричну функцію можна побудувати як суму за всіма парними перестановками, від якої віднімається сума за всіма непарними перестановками. Ці операції, звичайно, незворотні і можуть призвести до тотожно рівної нулю функції для нетривіальної функції f. Єдиний випадок, коли f можна відновити, коли відомі симетризація функції і антисиметризація, це коли n = 2 і абелева група допускає ділення на 2 (операція, зворотна подвоєнню). В цьому випадку f дорівнює половині суми симетризації і антисиметризації.

Приклади

Розглянемо функцію

За визначенням, симетрична функція від n змінних має властивість, що і т.д.

У загальному випадку функція залишається тією самою за будь-якої перестановки змінних. Це означає, що в нашому випадку

і так далі для всіх перестановок

Розглянемо функцію

Якщо переставити місцями x і y, функція набуде вигляду , що збігається з початковою функцією f(x,y).

Тепер розглянемо функцію

Якщо переставити x і y місцями, отримаємо

Ця функція, очевидно, не буде тією самою, що й початкова, якщо , отже, вона не симетрична.

Додатка

U-статистика У статистиці статистика на n-вибірці (функція від n змінних), отримана шляхом бутстрепу симетризації статистики на вибірці з k елементів, дає симетричну функцію від n змінних, звану . Приклади включають вибіркове середнє та вибіркову дисперсію.

Див. також Симетричний многочлен Елементарний симетричний многочлен

Примітки

Література

Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials. New Brunswick, New Jersey. University Lecture Series, 12. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 pp.  Symmetric Functions and Hall Polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. 

— §5.1 Symmetric functions, p. 222–225. — §5.7. Symmetric Functions Over Finite Fields, p. 259–270. — §33. Симметрические функции, с. 121.