У топології цілком незв'язним простором називається топологічний простір, який не має нетривіальних зв'язаних підмножин. У будь-якому топологічному просторі порожня множина і одноточкові множини є зв'язаними. У цілком незв'язаному просторі вони є єдиними зв'язаними підмножинами.
Важливим прикладом цілком незв'язаного простору є множина Кантора. Іншим прикладом, що відіграє ключову роль в алгебричній теорії чисел, є поле p-адичних чисел .
Означення Топологічний простір X називається цілком незв'язним, якщо усі його компоненти зв'язності X є одноточковими множинами.
Подібними є так звані цілком відокремлювані простори для яких всі квазікомпоненти є одноточковими множинами. Іншими словами для будь-яких двох точок простору існує відкрито-замкнута множина, що містить лише одну із двох точок (доповнення цієї множини буде відкрито-замкнутою множиною, що містить лише іншу точку).
Приклади Дискретний простір Множина раціональних чисел Множина ірраціональних чисел Множина p-адичних чисел. Більш загально, цілком незв'язними є усі проскінченні групи Множина Кантора Простір Бера Стрілка Зоргенфрея Кожен цілком відокремлюваний простір є цілком незв'язним. Натомість нехай , де еквівалентність полягає у ідентифікації однакових елементів двою копій раціональних чисел за винятком нуля. Цей простір є цілком незв'язним але розглянувши дві копії нуля можна показати, що він не є навіть гаусдорфовим і тим більше не є цілком відокремлюваним. нульвимірний гаусдорфів простір Нульвимірні T1-простори Екстремально незв'язний гаусдорфів простір Простір Стоуна Віяло Кнастера — Куратовского є прикладом зв'язного простору, який при видаленні лише однієї точки стає цілком незв'язним Простір Ердоша ℓ2 є прикладом одновимірного цілком незв'язного простору.
Властивості Підпростори, добутки і кодобуток цілком незв'язних просторів є цілком незв'язними. Цілком незв'язні простори є T1-просторами у випадку, якщо усі точки є замкнутими. При неперервному відображенні образ цілком незв'язного простору може не бути цілком незв'язним. Наприклад будь-який компактний метричний простір є образом множини Кантора. Локально компактний гаусдорфів простір є нульвимірним тоді і тільки тоді, коли він є цілком незв'язним. Будь-який цілком незв'язний компактний метричний простір є гомеоморфним підмножині зліченного добутку дискретних просторів. У загальному не вірно, що будь-яка відкрита підмножина цілком незв'язного простору є також замкнутою. Це не так, наприклад, у просторі раціональних чисел із топологією породженою стандартною метрикою. Тоді будь-яка множина де і a < b є відкритою але не замкнутою. У загальному не вірно, що у цілком незв'язному просторі замикання відкритої множини є відкритою множиною, тобто не кожен цілком незв'язний гаусдорфів простір є екстремально незв'язним. Контрприкладом може бути стрілка Зоргенфрея.
Конструювання незв'язного простору Нехай — довільний топологічний простір. Нехай тоді і тільки тоді, коли (де позначає максимальну зв'язану підмножину, що містить ). Очевидно, відношення є відношенням еквівалентності, отже можна побудувати відповідний факторпростір Топологія на природним чином визначається топологією на а саме, відкритими підмножинами є ті множини класів еквівалентності, прообраз яких при відображенні факторизації є відкритим в
Простір є цілком незв'язним. Справді, позначимо — відображення факторизації і припустимо, що не є цілком незв'язним. Тобто існує компонента зв'язності що містить дві різні точки і . Як компонента зв'язності є замкнутою множиною, як і множина що містить компоненти і . Оскільки і є різними компонентами зв'язності, то не є зв'язаною множиною і тому існують дві відкриті непусті підмножини із пустим перетином для яких
Також , оскільки якщо тоді для деякого . Тобто і належать одній компоненті зв'язності . Оскільки і , то і .
Відповідно де , є непустими відкритими множинами із пустим перетином. Тобто не може бути зв'язаною множиною.
Також виконується універсальна властивість: якщо є неперервним відображенням у цілком незв'язний простір, то воно єдиним чином задається у вигляді де відображення є неперервним, а — відображення факторизації.
Література