У теорії груп p-групою Прюфера (або квазіциклічною p-групою) для фіксованого простого числа p називається єдина p-група в якій для будь-якого елементу існує рівно p коренів p-го степеня. Зазвичай позначається як Z(p∞). Названа на честь німецького математика Гайнца Прюфера.
Властивості
p-групу Прюфера можна розглядати як підгрупа U(1), що складається з комплексних коренів з одиниці степенів pn для всіх натуральних чисел n:
Еквівалентно квазіциклічну p-групу можна розглядати як підгрупу Q/Z, що складається з елементів, порядок яких є степенем p:
Також p-група Прюфера може бути задана генеруючими елементами і співвідношеннями:
Квазіциклічна p-група є єдиною нескінченною p-групою, що є локально циклічною, тобто будь-яка скінченна підмножина її елементів породжує циклічну групу). Всі власні підгрупи квазіциклічної групи є циклічними.
Також можна записати
де Qp позначає адитивну групу p-адичних чисел, а Zp — підгрупу p-адичних цілих чисел.
Квазіциклічна група є подільною. Кожна абелева подільна група є прямою сумою копій раціональних чисел (проіндексованих деякою можливо нескінченною множиною) і копій Z(p∞) для всіх простих чисел (зновуж проіндексованих деякими можливо нескінченними множинами). Потужності індексуючих множин для копій всіх Z(p∞) Q визначають абелеву подільну групу із точністю до ізоморфізму. В теорії локально компактних топологічних груп квазіциклічна p-група із дискретною топологією, є двоїстою до компактної групи p-адичних чисел. Квазіциклічні p-групи, для всіх простих p є єдиними нескінченними групами, для яких множина підгруп є лінійно впорядкованою по вкладенню:
За цими вкладеннями p-група Прюфера є індуктивною границею своїх скінченних підгруп. Як -модуль, p-група Прюфера є прикладом артинового але не нетерового модуля. Кільце ендоморфізмів групи Z(p∞) є ізоморфним кільцю p-адичних цілих чисел Zp.
Див. також p-адичні числа p-група Індуктивна границя Подільна група Циклічна група Локально скінченна група
Література