mały|Punkty wyznaczane na okręgu przez kolejne obroty o kąt niebędący wymierną wielokrotnością – przykład konfiguracji, której dotyczy twierdzenie. U góry: powstające z nich słowo Sturma Twierdzenie o trzech odstępach (), twierdzenie o trzech odległościach () lub hipoteza Steinhausa () – twierdzenie matematyczne o rozmieszczeniu punktów na okręgu. Głosi ono, że jeśli na okręgu umieści się punkt początkowy, a następnie punktów pod kątami względem niego, to łuki między punktami sąsiadującymi na okręgu mają co najwyżej trzy różne długości. Gdy długości są trzy, największa z nich zawsze równa się sumie dwóch pozostałych. Jeżeli nie jest wymierną wielokrotnością to różne długości są co najmniej dwie.
Wynik ten jako hipotezę sformułował Hugo Steinhaus, a udowodnili go w latach 50. XX wieku Vera T. Sós, i Stanisław Świerczkowski. Później kolejne dowody podali inni badacze. Twierdzenie o trzech odstępach znajduje zastosowanie w badaniach nad wzrostem roślin i nad systemami strojenia muzycznego, w teorii odbicia światła wewnątrz lustrzanego kwadratu, a także w algorytmach informatycznych i w modelu pracy serca.
Sformułowanie Twierdzenie o trzech odstępach można sformułować geometrycznie, w języku punktów na okręgu. W tej postaci głosi ono, że jeśli na okręgu umieści się punkt początkowy, a następnie punktów pod kątami względem niego, to punkty te dzielą okrąg na nie więcej niż łuków o co najwyżej trzech różnych długościach. Łuków jest dokładnie gdy nie jest wymierną wielokrotnością bo wtedy żadne dwa z tych punktów się nie pokrywają. Równoważne i bardziej algebraiczne sformułowanie odwołuje się do części ułamkowych wielokrotności liczby rzeczywistej. Głosi ono, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej i dodatniej liczby całkowitej części ułamkowe liczb dzielą odcinek jednostkowy na nie więcej niż podprzedziałów o co najwyżej trzech różnych długościach. Gdy jest niewymierna, podprzedziałów jest dokładnie a różnych długości zawsze co najmniej dwie. Oba zagadnienia są równoważne. Wystarczy liniowo utożsamić odcinek jednostkowy z obwodem okręgu tak, by obu końcom odcinka odpowiadał punkt początkowy, a liczbie rzeczywistej przyporządkować kąt .
Zastosowania Wzrost roślin mały|Widok wzdłuż osi łodygi rośliny, w której kolejne liście są rozdzielone złotym kątem W badaniach nad filotaksją, czyli układem liści na łodygach roślin, wyróżnia się filotaksję spiralną, w której kolejne zawiązki organów są rozmieszczone pod kątem dywergencji bliskim złotemu kątowi, wynoszącemu około . W idealizacji przyjmowanej w modelach matematycznych każdy kolejny liść na łodydze jest obrócony względem poprzedniego o ten sam kąt. przytacza przypuszczenie, że kąt ten maksymalizuje zdolność liści rośliny do zbierania światła słonecznego. Patrząc wzdłuż osi tak rosnącej łodygi, można uporządkować liście według ich położenia wokół tej osi. Między liśćmi sąsiadującymi w tym widać co najwyżej trzy różne kąty.
mały|Punkty rozmieszczone co złoty kąt wzdłuż spirali Fermata (w środku) oraz, po bokach, pod dwoma innymi kątami obrotu Na przykład na rysunku przedstawiającym widok wzdłuż osi łodygi największy z tych trzech kątów występuje trzykrotnie: między liśćmi o numerach 3 i 6, między liśćmi 4 i 7 oraz między liśćmi 5 i 8. Drugi co do wielkości kąt występuje pięciokrotnie: między liśćmi 6 i 1, 9 i 4, 7 i 2, 10 i 5 oraz 8 i 3. Najmniejszy kąt występuje zaś tylko dwukrotnie: między liśćmi 1 i 9 oraz między liśćmi 2 i 10. Ograniczenie liczby rodzajów odstępów do co najwyżej trzech zależy wyłącznie od tego, że wzorzec wzrostu opiera się na stałym kącie obrotu, a nie od związku tego kąta ze złotym podziałem. Ta sama górna granica obowiązuje przy dowolnym innym kącie obrotu, nie tylko przy złotym kącie. Przy niektórych liczbach liści rodzaje odstępów są tylko dwa. Inne własności tego wzorca wzrostu zależą jednak od złotego podziału. Na przykład złoty podział jest liczbą źle aproksymowalną, czyli taką, że błąd przybliżenia jej ułamkiem nigdy nie spada poniżej pewnej stałej podzielonej przez kwadrat mianownika tego ułamka. Wynika z tego, że punkty rozmieszczone co złoty kąt wzdłuż spirali Fermata (jak dzieje się w niektórych modelach wzrostu roślin) tworzą . Intuicyjnie oznacza to, że punkty nie skupiają się dowolnie blisko siebie ani nie pozostawiają dowolnie dużych pustych obszarów.
Teoria muzyki mały|Dźwięki stroju pitagorejskiego jako punkty . Krawędzie oznaczają kwinty czyste użyte do skonstruowania stroju; dwie różne długości odstępów między kolejnymi punktami odpowiadają dwóm rodzajom półtonów. Po dwunastu kwintach nie wraca się dokładnie do dźwięku początkowego (w wyższej oktawie), więc się nie domyka – tę różnicę wysokości dźwięków nazywa się komatem pitagorejskim W teorii muzyki interwał muzyczny opisuje stosunek częstotliwości dwóch dźwięków. Interwały o prostych stosunkach częstotliwości tradycyjnie uchodzą za konsonansowe: oktawie odpowiada stosunek 2:1, a kwincie czystej – stosunek 3:2. Dwa dźwięki uznaje się zwykle za równoważne, gdy różnią się o całkowitą liczbę oktaw. Tę równoważność można przedstawić geometrycznie za pomocą , którego punkty reprezentują klasy dźwięków równoważnych. Matematycznie okrąg ten można opisać jako okrąg jednostkowy na płaszczyźnie zespolonej, a punkt tego okręgu reprezentujący dany dźwięk otrzymuje się, odwzorowując częstotliwość na liczbę zespoloną Interwałowi o stosunku odpowiada kąt między punktami tego okręgu, co oznacza, że dwa dźwięki muzyczne różnią się o dany interwał wtedy, gdy odpowiadające im punkty na okręgu różnią się o ten kąt. Na przykład wzór ten daje (pełny okrąg) jako kąt odpowiadający oktawie. Ponieważ 3/2 nie jest potęgą dwójki o wykładniku wymiernym, kąt na okręgu chromatycznym reprezentujący kwintę czystą nie jest wymierną wielokrotnością Podobnie jest z każdym innym interwałem, którego stosunek częstotliwości nie jest potęgą dwójki o wykładniku wymiernym.
System strojenia to zbiór dźwięków używanych do komponowania i wykonywania muzyki. Na przykład strój równomiernie temperowany, powszechnie stosowany w fortepianie, jest systemem strojenia złożonym z 12 dźwięków rozmieszczonych równomiernie na okręgu chromatycznym. Niektóre inne systemy strojenia nie rozmieszczają dźwięków równomiernie, lecz je jako pewną liczbę kolejnych wielokrotności zadanego interwału. Przykładem jest strój pitagorejski, zbudowany w ten sposób z dwunastu dźwięków, generowanych jako kolejne wielokrotności kwinty czystej w kole kwintowym. Niewymierny kąt, jaki kwinta czysta tworzy na okręgu chromatycznym, jest bliski 7/12 pełnego okręgu, dlatego dwanaście dźwięków stroju pitagorejskiego leży blisko odpowiadających im dźwięków stroju równomiernie temperowanego, ale się z nimi nie pokrywa. Ten drugi strój można wygenerować w ten sam sposób, używając kąta dokładnie 7/12 okręgu. W stroju równomiernie temperowanym dźwięki są rozmieszczone co kąt równy dokładnie 1/12 okręgu. W stroju pitagorejskim sąsiednie dźwięki są natomiast rozdzielone odstępami o dwóch różnych kątach, bliskich 1/12 okręgu, ale nie dokładnie równych tej wartości. Te dwa kąty odpowiadają dwóm rodzajom półtonów. Gdyby strój pitagorejski rozszerzyć o jeszcze jedną kwintę czystą, tak aby obejmował 13 dźwięków, to w ciągu interwałów między jego dźwiękami pojawiłby się trzeci, znacznie krótszy interwał – komat pitagorejski.
W tym kontekście twierdzenia o trzech odstępach można użyć do opisu dowolnego systemu strojenia generowanego w ten sposób przez kolejne wielokrotności jednego interwału. W niektórych z tych systemów strojenia (jak strój równomiernie temperowany) najbliższe pary dźwięków może rozdzielać tylko jeden interwał, a w innych (jak strój pitagorejski) – tylko dwa różne interwały. Z twierdzenia o trzech odstępach wynika ogólnie, że zawsze występują co najwyżej trzy różne interwały rozdzielające sąsiednie dźwięki.
Informatyka i medycyna Twierdzenie o trzech odstępach znalazło zastosowanie w informatyce teoretycznej. Opiera się na nim analiza mieszania multiplikatywnego, w tym mieszania Fibonacciego, omówionego przez Donalda Knutha. Vincent Lefèvre wykorzystał twierdzenie do opracowania szybkiego algorytmu szacującego z dołu odległość prostej od punktów regularnej siatki. Algorytm ten służy do wyszukiwania przypadków, w których najtrudniej poprawnie zaokrąglić wartości funkcji elementarnych w arytmetyce zmiennoprzecinkowej. Michel Langevin badał z kolei twierdzenie w związku z matematycznym modelem parasystolii komorowej.
Odbicie w lustrach mały|W słowie Fibonacciego, będącym przykładem , występują cztery różne podciągi długości 3 (w kolejności od lewej do prawej): 010, 100, 001 i 101 to nieskończony ciąg dwóch symboli (na przykład „H” i „V”), opisujący kolejne poziome i pionowe odbicia promienia światła wewnątrz lustrzanego kwadratu, gdy promień biegnie początkowo wzdłuż prostej o niewymiernym współczynniku kierunkowym. Równoważnie ten sam ciąg opisuje kolejność poziomych i pionowych prostych siatki całkowitoliczbowej przecinanych przez prostą początkową. Wszystkie takie ciągi mają między innymi tę własność, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej ciąg ma dokładnie różnych spójnych podciągów (podsłów) długości Każdy z tych podciągów pojawia się nieskończenie wiele razy z pewną częstością, a z twierdzenia o trzech odstępach wynika, że wśród tych podciągów występują co najwyżej trzy różne częstości. Jeśli częstości są trzy, to największa z nich musi być równa sumie dwóch pozostałych. Jeden z dowodów tego wyniku polega na podzieleniu zbioru (modulo 1) na podprzedziałów, wewnątrz których ciąg ma te same początkowe elementów. Do tego podziału stosuje się następnie twierdzenie o trzech odstępach.
Historia i dowód mały|Hugo Steinhaus, który postawił hipotezę mały|Vera T. Sós (2008), autorka jednego z pierwszych dowodów
Twierdzenie o trzech odstępach postawił w formie hipotezy Hugo Steinhaus, a pierwsze dowody przedstawili pod koniec lat 50. XX wieku Vera T. Sós, János Surányi i Stanisław Świerczkowski.
Późniejsi badacze opublikowali kolejne dowody, uogólniając ten wynik na wyższe wymiary i wiążąc go z zagadnieniami takimi jak ułamki łańcuchowe, symetrie i linie geodezyjne rozmaitości riemannowskich, elementarna topologia oraz przestrzeń krat płaskich, której punktami są kraty na płaszczyźnie. Micaela Mayero sformalizowała dowód van Ravensteina przy użyciu (noszącego wówczas nazwę Coq), interaktywnego systemu dowodzenia twierdzeń. Jednym z pierwszych zastosowań twierdzenia był dowód wyniku Stanisława Hartmana z 1952 roku, odpowiadającego na wcześniejsze pytanie Steinhausa o graniczne zachowanie najdłuższego i najkrótszego z odstępów przy rosnącej liczbie punktów. Dowód ten podała w 1958 roku Vera T. Sós.
Prosty dowód podał w 1979 roku Frank Liang. Niech będzie kątem obrotu, którego pewna liczba kolejnych wielokrotności wyznacza na okręgu rozważany zbiór punktów. Odstępem nazywa się łuk okręgu rozciągający się między dwoma sąsiednimi punktami danego zbioru, a odstęp jest sztywny, jeśli jego końce pojawiają się w ciągu wielokrotności później niż końce dowolnego innego odstępu tej samej długości. Dowód przebiega w czterech krokach: Każdy odstęp ma tę samą długość co pewien odstęp sztywny – wynika to wprost z definicji odstępu sztywnego. Jeśli jest odstępem sztywnym, to łuk nie jest odstępem, ponieważ ma tę samą długość, a znajdowałby się o jeden krok później. Łuk może nie być odstępem tylko w dwóch przypadkach: jeden z końców jest ostatnim punktem ciągu wielokrotności wskutek czego brakuje odpowiadającego mu końca któryś z danych punktów trafia do wnętrza Punktem tym może być tylko pierwszy punkt ciągu wielokrotności w przeciwnym razie bowiem jego poprzednik w ciągu trafiłby do wnętrza wbrew założeniu, że jest odstępem. Odstępów sztywnych może więc być co najwyżej trzy: dwa po obu stronach ostatniego punktu oraz ten, do którego trafiłby poprzednik pierwszego punktu (gdyby należał do ciągu). Ponieważ każdy odstęp ma długość pewnego odstępu sztywnego, różnych długości odstępów również jest co najwyżej trzy.