Argument z niezbędności Quine’a i Putnama

Argument z niezbędności Quine’a i Putnama – argument w filozofii matematyki na rzecz istnienia abstrakcyjnych obiektów matematycznych, takich jak liczby i zbiory, czyli na rzecz stanowiska znanego jako . Nazwę zawdzięcza filozofom Willardowi Van Ormanowi Quine’owi i Hilaremu Putnamowi. Należy do najważniejszych argumentów w filozofii matematyki i jest przedmiotem obszernej debaty.

Choć niektórych elementów argumentu z niezbędności można doszukiwać się u myślicieli takich jak Gottlob Frege i Kurt Gödel, Quine połączył je z własnymi stanowiskami filozoficznymi, takimi jak naturalizm, oraz kryterium . Naturalizm głosi, że o tym, co istnieje, rozstrzyga nauka. Według holizmu teorie naukowe potwierdza się tylko łącznie, jako całość, a kryterium zobowiązania ontologicznego pozwala ustalić, jakie byty dana teoria uznaje za istniejące. Pierwsze szczegółowe sformułowanie argumentu Quine’a przedstawił Putnam w książce z 1971 roku. Później jednak zaczął kwestionować niektóre elementy stanowiska Quine’a i sformułował własny argument z niezbędności, oparty na argumencie z braku cudów z filozofii nauki (zgodnie z którym tylko realizm naukowy wyjaśnia sukces nauki, nie odwołując się do cudu). Standardową postać argumentu we współczesnej filozofii przypisuje się . Choć ukształtowała się ona pod wpływem zarówno Quine’a, jak i Putnama, pod istotnymi względami różni się od ich sformułowań. W ujęciu przytaczanym przez głosi ona, że skoro nasze najlepsze teorie naukowe nie mogą obejść się bez bytów matematycznych, to należy uznać istnienie tych bytów tak samo jak istnienie wszystkich pozostałych bytów, których teorie te wymagają.

Nominaliści, czyli filozofowie odrzucający istnienie przedmiotów abstrakcyjnych, podważali obie przesłanki tego argumentu: że należy wierzyć we wszystko, czego wymagają najlepsze teorie naukowe, oraz że teorie te wymagają bytów matematycznych. Wpływowy argument Hartry’ego Fielda głosi, że byty matematyczne są dla nauki zbędne. Argument ten wspierano próbami wykazania, że teorie naukowe i matematyczne można przeformułować tak, by usunąć wszelkie odniesienia do bytów matematycznych. Inni filozofowie, w tym , i , argumentowali, że nie musimy wierzyć we wszystkie byty, które są niezbędne dla nauki. Argumenty tych autorów zainspirowały nową, , popieraną przez i Marka Colyvana, zgodnie z którą matematyka jest niezbędna zarówno dla konkretnych wyjaśnień naukowych, jak i dla całych teorii.

Tło W artykule „Mathematical Truth” z 1973 roku wskazał problem, przed którym staje filozofia matematyki. Zdaniem Benacerrafa zdania matematyczne, takie jak „dwa jest liczbą pierwszą”, implikują istnienie obiektów matematycznych. Twierdzenie to uzasadniał przekonaniem, że matematyka nie powinna mieć własnej, odrębnej semantyki. Innymi słowy, znaczenie zdań matematycznych powinno podlegać tym samym regułom co znaczenie zdań każdego innego rodzaju. Jeśli na przykład zdanie „Mars jest planetą” implikuje istnienie planety Mars, to zdanie „dwa jest liczbą pierwszą” również powinno implikować istnienie liczby dwa. Zdaniem Benacerrafa jednak, gdyby obiekty matematyczne istniały, byłyby niepoznawalne. Obiekty matematyczne – o ile istnieją – są bowiem przedmiotami abstrakcyjnymi: przedmiotami, które nie mogą niczego powodować i nie są umiejscowione w czasie ani w przestrzeni. Benacerraf argumentował, opierając się na , że wiedza o takich przedmiotach byłaby niemożliwa, ponieważ nie mogą one wejść z nikim w kontakt przyczynowy. Nazywa się to epistemologicznym problemem Benacerrafa, ponieważ dotyczy epistemologii matematyki, czyli tego, skąd bierze się ludzka wiedza o matematyce.

W sporach ontologicznych w filozofii matematyki szczególnie ważne są dwa stanowiska: i nominalizm. Platonizm głosi, że istnieją abstrakcyjne obiekty matematyczne, takie jak liczby i zbiory, natomiast nominalizm zaprzecza ich istnieniu. Problem postawiony przez Benacerrafa nastręcza trudności każdemu z tych stanowisk. Ponieważ nominalizm odrzuca istnienie obiektów matematycznych, nie staje przed problemem epistemologicznym, napotyka jednak trudności związane z ideą, że matematyka nie powinna mieć własnej, odrębnej semantyki. Platonizm nie napotyka trudności po semantycznej stronie dylematu, ma natomiast kłopot z wyjaśnieniem, w jaki sposób możliwa jest wiedza o obiektach matematycznych.

Argument z niezbędności ma przezwyciężyć problem epistemologiczny, przed którym staje platonizm, dostarczając uzasadnienia przekonania o istnieniu abstrakcyjnych obiektów matematycznych. Należy on do szerokiej klasy argumentów z niezbędności, stosowanych najczęściej w filozofii matematyki, obejmującej jednak także argumenty z innych dziedzin, na przykład z etyki. W najogólniejszym sensie argument z niezbędności uzasadnia dane twierdzenie, wskazując, że samo to twierdzenie jest niezbędne lub konieczne do osiągnięcia określonego celu. Argumenty z niezbędności zastosowane w ontologii – dziale filozofii zajmującym się tym, co istnieje – są przykładem Quine’owskiej strategii ustalania istnienia kontrowersyjnych bytów, których nie da się badać bezpośrednio. Zgodnie z tą strategią niezbędność owych bytów dla sformułowania teorii innych, mniej kontrowersyjnych bytów stanowi świadectwo ich istnienia. W przypadku filozofii matematyki niezbędność bytów matematycznych dla formułowania teorii naukowych uznaje się za świadectwo istnienia tych bytów matematycznych.

Zarys argumentu przedstawia ten argument w w następującej postaci:

Powinniśmy przyjmować zobowiązanie ontologiczne wobec wszystkich i tylko tych bytów, które są niezbędne dla naszych najlepszych teorii naukowych. Byty matematyczne są niezbędne dla naszych najlepszych teorii naukowych. Zatem powinniśmy przyjmować zobowiązanie ontologiczne wobec bytów matematycznych.

Zastrzeżenie „i tylko” w pierwszej przesłance dopisał sam Colyvan, by uwydatnić rzekomy wymóg naturalizmu, i przyznaje, że nie należy ono do argumentu Quine’a i Putnama. Zobowiązanie ontologiczne wobec pewnego bytu jest tu zobowiązaniem do przyjęcia, że ten byt istnieje. Pierwsza przesłanka opiera się na dwóch podstawowych założeniach: naturalizmie i . Ujęcie to nie jest jednak bezsporne. Podnoszono, że naturalizm i holizm nie należą do metaontologii Quine’a (jego ogólnego poglądu na to, jak rozstrzygać pytania o istnienie) i prawdopodobnie nie są dla samego argumentu konieczne. Nauka jest dla argumentu istotna tylko o tyle, o ile dostarcza zdań, których wyjątkowo niechętnie usunęlibyśmy z najlepszej teorii świata. Zgodnie z naturalizmem to nasze najlepsze teorie naukowe powinny rozstrzygać, jakie byty mamy najlepsze racje uznawać za istniejące. Quine podsumował naturalizm jako „uznanie, że to w obrębie samej nauki, a nie w jakiejś uprzedniej wobec niej filozofii, należy identyfikować i opisywać rzeczywistość”. Holizm konfirmacyjny to pogląd, zgodnie z którym teorii naukowych nie można potwierdzać pojedynczo, lecz tylko łącznie, jako całość. Dlatego, zgodnie z holizmem konfirmacyjnym, jeśli powinniśmy wierzyć w naukę, to powinniśmy wierzyć w całość nauki, w tym w matematykę zakładaną przez nasze najlepsze teorie naukowe. Argument jest skierowany przede wszystkim do nominalistów, którzy zarazem są realistami naukowymi, ponieważ próbuje uzasadnić przekonanie o istnieniu bytów matematycznych, podobnie jak uzasadnia się przekonanie o istnieniu bytów teoretycznych, takich jak elektrony czy kwarki. Quine utrzymywał, że tacy nominaliści stosują w ontologii „podwójne standardy”.

Argument z niezbędności różni się od innych argumentów na rzecz platonizmu tym, że przemawia jedynie za przyjęciem tych części matematyki, które są niezbędne dla nauki. Niekoniecznie uzasadnia on przekonanie o istnieniu najbardziej abstrakcyjnych części teorii mnogości, które Quine nazwał „matematyczną rozrywką … bez praw ontologicznych”. Niektórzy filozofowie wnioskują z tego argumentu, że wiedza matematyczna ma charakter a posteriori, ponieważ argument ten implikuje, że prawdy matematyczne można ustalić wyłącznie przez empiryczne potwierdzenie teorii naukowych, dla których są niezbędne. Wskazuje to również, że prawdy matematyczne są , skoro prawdy poznawane empirycznie są na ogół przygodne. Stanowisko takie jest kontrowersyjne, ponieważ przeczy tradycyjnemu ujęciu wiedzy matematycznej jako wiedzy a priori o prawdach koniecznych.

Choć pierwotny argument Quine’a przemawia za platonizmem, argumenty z niezbędności można również konstruować na rzecz słabszej tezy realizmu zdaniowego – tezy, że teoria matematyczna jest obiektywnie prawdziwa. Jest to teza słabsza, ponieważ niekoniecznie pociąga za sobą istnienie abstrakcyjnych obiektów matematycznych.

Główne pojęcia

Niezbędność Druga przesłanka argumentu z niezbędności głosi, że obiekty matematyczne są niezbędne dla naszych najlepszych teorii naukowych. W tym kontekście niezbędność nie jest tym samym co nieusuwalność, ponieważ z systemu teoretycznego można wyeliminować dowolny byt, o ile odpowiednio dostosuje się pozostałe części tego systemu. Niezbędność oznacza natomiast, że danego bytu nie da się wyeliminować bez obniżenia atrakcyjności teorii. Atrakcyjność teorii można oceniać na podstawie cnót teoretycznych, takich jak , i . Ponadto, jeśli dany byt jest dla teorii zbędny, można sformułować równoważną teorię bez niego. Tak jest na przykład wtedy, gdy każde zdanie jednej teorii jest parafrazą zdania drugiej albo gdy obie teorie prowadzą do tych samych przewidywań empirycznych.

Według jeden z najbardziej wpływowych argumentów przeciwko argumentowi z niezbędności pochodzi od Hartry’ego Fielda. Odrzuca on twierdzenie, że obiekty matematyczne są niezbędne dla nauki. Field wsparł ten argument, przeformułowując, czyli „nominalizując”, teorie naukowe tak, by nie odnosiły się do obiektów matematycznych. W ramach tego projektu Field zaproponował przeformułowanie fizyki newtonowskiej w języku relacji między punktami czasoprzestrzeni. Zamiast odwoływać się do odległości liczbowych, przeformułowanie Fielda posługuje się relacjami takimi jak „leży między” i „jest przystający”, aby odtworzyć teorię bez implikowania istnienia liczb. rozwinął ten nominalizacyjny projekt, natomiast Mark Balaguer podjął próby nominalizacji mechaniki kwantowej. Filozofowie tacy jak i kwestionują, czy takie przeformułowania są udane, a nawet czy są w ogóle możliwe, zwłaszcza w przypadku mechaniki kwantowej.

Field przeciwstawia platonizmowi , zgodnie z którym teorie matematyczne są fałszywe, ponieważ odnoszą się do przedmiotów abstrakcyjnych, które nie istnieją. Polemizując z argumentem z niezbędności, Field próbował wyjaśnić, jak to możliwe, że nauka posługuje się fałszywymi twierdzeniami matematycznymi, a mimo to jej przewidywania nie stają się fałszywe. Jego argument opiera się na idei, że matematyka jest . Teoria matematyczna jest konserwatywna, jeśli w połączeniu z teorią naukową nie implikuje o świecie fizycznym niczego, czego sama teoria naukowa już by nie implikowała. Wyjaśnia to, dlaczego teorie naukowe posługują się matematyką, a przewidywania nauki nie stają się przez to fałszywe. Ponadto Field podjął próbę sprecyzowania, na czym dokładnie polega użyteczność matematyki dla nauki. Field sądzi, że matematyka jest użyteczna dla nauki, ponieważ język matematyczny pozwala w dogodny, skrótowy sposób opisywać złożone układy fizyczne.

Inny sposób podważenia tezy, że byty matematyczne są niezbędne dla nauki, polega na przeformułowaniu samych teorii matematycznych tak, by nie implikowały istnienia obiektów matematycznych. , i Putnam zaproponowali modalne przeformułowania matematyki, zastępujące wszystkie odniesienia do obiektów matematycznych twierdzeniami o możliwościach.

Naturalizm