Topologia ilorazowa – w topologii, dziale matematyki, najbogatsza topologiaTj. topologia o możliwie największej ilości zbiorów otwartych. określona na zbiorze ilorazowym, wyznaczonym przez relację równoważności określoną na danej przestrzeni topologicznej, względem której odwzorowanie ilorazoweTzn. dla ustalonej relacji równoważności odwzorowanie przyporządkowujące danemu elementowi przestrzeni klasę abstrakcji do której należy. jest ciągłe. Szczególne przypadki topologii ilorazowych badali jako pierwsi Robert Lee MooreMoore, Robert Lee. Concerning upper semi-continuous collections of continua, Transactions of the American Mathematical Society 27 (1925), s. 414–428. oraz Paweł AleksandrowАлександров, Павел Сергеевич. Über stetige Abbildungen kompakter Räume, Math. Ann. 96 (1927), s. 555–571..
Definicje
Niech będzie przestrzenią topologiczną, zaś oznacza pewną relację równoważności określoną na Niech oznacza odwzorowanie ilorazowe zbioru w zbiór ilorazowy dane wzorem nazywane też naturalnym przekształceniem ilorazowym bądź krótko przekształceniem naturalnym.
Rodzinę zbiorów
tworzącą topologię w zbiorze nazywa się topologią ilorazową przestrzeni względem relacji z kolei zbiór z topologią ilorazową nazywa się przestrzenią ilorazową
Jeżeli oraz relacja utożsamia ze sobą punkty zbioru tzn. jest to przestrzeń ilorazową nazywa się przestrzenią otrzymaną z przez sklejenie zbioru do punktu i oznacza symbolem
Własności Niech i będą przestrzeniami topologicznymi oraz będzie relacją równoważności w zbiorze Wówczas zbiór jest domknięty w przestrzeni ilorazowej wtedy i tylko wtedy, gdy jest domkniętym podzbiorem przekształcenie jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie jest ciągłe; jeżeli i są przestrzeniami Hausdorffa, zaś takim ciągłym i odwzorowaniem „na”, że oraz dla pewnego zbioru zwartego jest to odwzorowanie dane wzorem jest homeomorfizmem.
Jeżeli jest domkniętym podzbiorem zwartej podprzestrzeni przestrzeni euklidesowej to przestrzeń można zanurzyć w bez założenia o zwartości można wskazać takie zbiory oraz dla których przestrzeń jest niemetryzowalna.
Przykłady Przestrzeń ilorazowa określona na prosta rzeczywistej (z naturalną topologią euklidesową) i rozumiana jako grupa ilorazowa grupy liczb rzeczywistych przez podgrupę liczb całkowitych W innym ujęciu: grupa działa na grupie poprzez przesunięcia. jest tożsama z przestrzenią wyznaczoną przez relację równoważności zdefiniowaną dla dowolnych warunkiem Jest ona homeomorficzna z okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie euklidesowejNiech będzie dane wzorem Ponieważ oraz to odwzorowanie dane wzorem jest homeomorfizmem (na mocy jednej z własności). Przekształcenie można interpretować jako nawinięcie prostej na okrąg (każdy przedział „nawija się” jednoznacznie na cały okrąg)..
Przestrzeń ilorazowa określona na (z topologią jw.) poprzez sklejenie podzbioru liczb całkowitych jest różna od wyżej opisanej przestrzeni przestrzeń ta jest homeomorficzna z nieskończonym bukietem okręgów sklejonych w pojedynczym punkcie i powstaje z wykorzystaniem relacji równoważności zdefiniowanej dla dowolnych warunkiem
Zobacz też topologia produktowa topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń
Uwagi
Przypisy
Bibliografia S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005.
Kategoria:Relacje równoważności Kategoria:Operacje na przestrzeniach topologicznych