U matematici, rotacijski broj je invarijanta homeomorfizama krugova.
Historija
Prvi put ga je definirao Henri Poincaré 1885. godine, u odnosu na precesiju perihela planetarne orbite. Poincaré je kasnije dokazao teorem koji karakterizira postojanje periodičnih orbita u smislu racionalnosti rotacijskog broja.
Definicija Pretpostavimo da je homeomorfizam grupe krugova koji čuva orijentaciju Tada se može podići na homeomorfizam realne linije, zadovoljavajuće
Za svaki realni broj i svaki integer .
Rotacijski broj od je definisan u terminima iteracija od :
Henri Poincaré je dokazao da limit postoji i da je nezavisan od izbora početne tačke . Uzgon je jedinstven po modulu cijelih brojeva, stoga je broj rotacije dobro definisan element od Intuitivno, on mjeri prosječni ugao rotacije duž orbita od .
Primjer
Ako je rotatacija prema (where ), tada
a njegov rotacijski broj je (usp. iracionalna rotacija).
Svojstva
Rotacijski broj je invarijantan u odnosu na topološku konjugaciju, pa čak i monotonu topološku polukonjugaciju: ako su i dva homeomorfizma kruga i:
Za monotono neprekidno preslikavanje kruga u sebe (ne nužno homeomorfno), tada i imaju iste brojeve rotacije. Poincaré i Arnaud Denjoy su ga koristili za topološko klasifikaciju homeomorfizama kruga. Postoje dvije različite mogućnosti. Rotacijski broj od je racionalni broj (u najnižim terminima). Tada ima periodičnu orbitu, svaka periodična orbita ima period , a redoslijed tačaka na svakoj takvoj orbiti podudara se s redoslijedom tačaka za rotaciju za . Štaviše, svaka direktna orbita od konvergira u periodičnu orbitu. Isto važi i za nazadne orbite, koje odgovaraju iteracijama od , ali granične periodične orbite u smjeru naprijed i nazad mogu biti različite. Rotacijski broj od je iracionalni broj . Tada nema periodične orbite (ovo odmah slijedi razmatranjem periodične tačke od ). Postoje dva podslučaja.
Postoji gusta orbita. U ovom slučaju je topološki konjugovan sa iracionalnom rotacijom za ugao i sve orbite su guste. Denjoy je dokazao da se ova mogućnost uvijek ostvaruje kada je dva puta kontinuirano diferencijabilan. Postoji Cantorov set invarijantan pod . Tada je jedinstveni minimalni skup i orbite svih tačaka, i u smjeru naprijed i u smjeru nazad, konvergiraju ka . U ovom slučaju, je polukonjugiran sa iracionalnom rotacijom pomoću , a polukonjugirajuće preslikavanje stepena 1 je konstantno na komponentama komplementa od .
Broj rotacije je kontinuiran kada se posmatra kao preslikavanje iz grupe homeomorfizama (sa topologijom ) kruga u krug.
Također pogledajte Kružna mapa Denjoyev difeomorfizam Poincaréov presjek Poincaréova rekurzivnost Poincaré-Bendixsonova teorema
Reference
, also SciSpace for smaller file size in pdf ver 1.3
Vanjski linkovi
Weisstein, Eric W. "Map Winding Number". From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
Kategorija:Matematika Kategorija:Dinamički sistemi Kategorija:Rotacija