En matemáticas, e máis concretamente en álxebra linear, un subespazo linear ou subespazo vectorial pp. 16–17, § 10 é un espazo vectorial que é un subconxunto dalgún espazo vectorial maior. Un subespazo linear adoita chamarse simplemente subespazo cando o contexto serve para distinguilo doutros tipos de subespazos.
Definición Se V é un espazo vectorial sobre un corpo K, un subconxunto W de V é un subespazo vectorial de V se é un espazo vectorial sobre K coas operacións de V.
De forma equivalente, un subespazo vectorial de V é un subconxunto W non baleiro tal que, sempre que son elementos de W e son elementos de K, temos que está en W.
O conxunto unitario formado só polo vector cero e o propio espazo vectorial son subespazos vectoriais que se denominan subespazos triviais do espazo vectorial. p. 100, ch. 2, Definition 2.13
Exemplos
Exemplo I No espazo vectorial V = R3 (o espazo de coordenadas reais en 3 dimensións sobre o corpo R de números reais), tomamos W como o conxunto de todos os vectores de V cuxa última compoñente é 0. Entón W é un subespazo de V.
Proba:
Dados u e v en W, entón poden expresarse como e . Así temos . Por tanto, u + v tamén é un elemento de W. Dado u en W e un escalar en R, se temos Por tanto, u tamén é un elemento de W.
Exemplo II Sexa de novo o corpo R, mais agora sexa o espazo vectorial V o plano cartesiano R2. Considere W como o conxunto de puntos (x, y) de R 2 tal que x = y. Entón W é un subespazo de R2.
Exemplo III De novo tome o corpo R, mais agora sexa o espazo vectorial V o conxunto RR de todas as funcións de R en R. Sexa C(R) o subconxunto formado polas funcións continuas. Entón C(R) é un subespazo de RR.
Proba:
Sabemos polo cálculo que . Sabemos polo cálculo que a suma de funcións continuas é continua. De novo, sabemos polo cálculo que o produto dunha función continua e un número é continua.
Exemplo IV Manteña o mesmo corpo e espazo vectorial que antes,mais agora considere o conxunto Diff(R) de todas as funcións diferenciábeis. O mesmo tipo de argumento que antes mostra que este tamén é un subespazo vectorial.
Propiedades dos subespazos Da definición de espazos vectoriais, despréndese que os subespazos non están baleiros e están pechados baixo as sumas e baixo a multiplicación escalar. Subspace.
Isto é equivalente a dicir que os subespazos poden caracterizarse pola propiedade de estaren pechados baixo combinacións lineares. É dicir, un conxunto non baleiro W é un subespazo vectorial se e só se toda combinación linear de elementos finitos de W tamén pertence a W.
Nun espazo vectorial topolóxico X, un subespazo W non necesita estar pechado topoloxicamente, mais un subespazo de dimensión finita sempre está pechado. Basic facts about Hilbert Space — class notes from Colorado State University on Partial Differential Equations (M645).
Tipos frecuentes de subespazos Algúns tipos frecuentes de subespazos inclúen o conxunto solución dun sistema homoxéneo de ecuacións lineares, o subconxunto do espazo euclidiano descrito por un sistema de ecuacións paramétricas homoxéneas lineares, o subespazo vectorial xerado por unha colección de vectores, o espazo nulo ou kernel, e tamén os espazos de columnas e os espazos de filas dunha matriz (combinacións lineares das columnas ou filas da matriz).
Xeometricamente (especialmente sobre o corpo de números reais e os seus subcorpos), un subespazo é un hiperplano nun n-espazo que pasa pola orixe.
Independencia, base e dimensión dereita|miniatura|280x280px| Os vectores u e v son unha base deste subespazo bidimensional de R3. En xeral, un subespazo de Kn determinado por k parámetros (ou estendido por k vectores) ten dimensión k. No entante, hai excepcións a esta regra. Por exemplo, o subespazo de K3 estendido polos tres vectores (1,0,0), (0,0,1), e (2,0,3) é só o plano xz, con cada punto do plano descrito por infinitos valores diferentes de .
En xeral, os vectores v1, ... , vk chámanse linearmente independentes se
para (t1 ,t2 ,...,t k )≠ (u1,u 2 ,...,uk ).
Isto pódese expresar tamén como: os vectores v1, ..., vk son linearmente independentes se
para .
Se son linearmente independentes, entón as coordenadas para un vector xerado están determinadas de forma única.
Unha base para un subespazo S é un conxunto de vectores linearmente independentes cuxa combinación linear (ou extensión) é S. O número de elementos nunha base é sempre igual á dimensión xeométrica do subespazo.
Exemplo Sexa S o subespazo de R4 definido polas ecuacións
Entón os vectores (2, 1, 0, 0) e (0, 0, 5, 1) son unha base para S. En particular, cada vector que satisfaga as ecuacións anteriores pódese escribir de forma única como unha combinación linear dos dous vectores básicos:
O subespazo S é bidimensional. Xeométricamente, é o plano en R4 que pasa polos puntos (0,0,0,0), (2,1,0,0), e (0,0,5,1).
Operacións e relacións con subespazos
Intersección dereita|miniatura| En R3, a intersección de dous subespazos bidimensionais distintos é unidimensional Dados os subespazos U e W dun espazo vectorial V, entón a súa intersección U ∩ W := { v ∈ V : v é un elemento tanto de U como W } tamén é un subespazo de V.
Suma Se U e W son subespazos, a súa suma é o subespazo
Por exemplo, a suma de dúas rectas é o plano que as contén. A dimensión da suma satisfai a desigualdade
Aquí, o mínimo só ocorre se un subespazo está contido no outro, mentres que o máximo é o caso máis xeral. A dimensión da intersección e a suma están relacionadas coa seguinte ecuación:
Un conxunto de subespazos é independente cando a única intersección entre calquera par de subespazos é o subespazo trivial.
A suma directa é a suma de subespazos independentes, escritos como . Unha reformulación equivalente é que unha suma directa é unha suma de subespazos baixo a condición de que cada subespazo contribúa na extenxión da suma. p. 148, ch. 2, §4.10 p. 21 § 1.40 pp. 10–11, § 1.2.5 pp. 28–29, § 18
Notas
Véxase tamén Bibliografía
Outros artigos Suma directa. Produto vectorial. Espazo cociente. Ligazóns externas
Categoría:Álxebra lineal