En matemáticas, un difeomorfismo é un isomorfismo na categoría habitual de variedades diferenciable: é unha bixección diferenciable dunha variedade a outra, cuxa bixección recíproca tamén é diferenciable. miniatura|Imaxe dunha malla cadrada mediante un difeomorfismo do cadrado en si mesmo.
Difeomorfismo entre conxuntos abertos de ℝ n Sexan:
E e F dous espazos vectoriais normados reais de dimensión finita ; U un conxunto aberto de E, V un aberto de F ; f unha aplicación de U en V.
Dicimos que f é un difeomorfismo se se verifican as seguintes tres propiedades :
f é bixectiva ; f é diferenciable en U ; a súa inversa é diferenciable en V.
Para 1 ≤ k ≤ ∞, un difeomorfismo C k é unha aplicación de clase Ck , bixectiva, e cuxa función inversa tamén é de clase C k .
Difeomorfismo entre variedades Do mesmo xeito que entre conxuntos abertos de ℝ n ,
Un difeomorfismo entre dúas variedades é unha bixección bi-diferenciable, Un difeomorfismo C k é un difeomorfismo que é da clase , así como o seu inverso, Dúas variedades difeomorfas teñen necesariamente a mesma dimensión.
Difeomorfismo local
Definición Un difeomorfismo local é unha aplicación f: M → N dunha variedade noutra tal que para calquera punto m de M, existe unha veciñanza aberta U de m en M tal que f (U) é un aberto en N e a restrición de f, de U en f ( U ), é un difeomorfismo.
Se f : M → N é un difeomorfismo local, entón, para calquera punto m de M, a aplicación lineal Tmf: Tm M → Tf (m)N (diferencial de f no punto m ) é un isomorfismo (isto implica que M e N teñen a mesma dimensión, e entón equivale, en coordenadas locais, a dicir que o xacobiano de f en m é distinto de cero, ou de novo, que as partes lineares das aproximacións afíns das diferentes compoñentes de f son linealmente independentes. Segundo o Teorema da función inversa, o contrario é certo en canto f é de clase .
Pasando do local ao global Un difeomorfismo local é un difeomorfismo (global) se e só se é bixectivo. No caso de funcións numéricas entre intervalos, o teorema da bixección garante que calquera difeomorfismo local C k dun intervalo real a outro é un difeomorfismo C k (global). Este resultado elemental xeneralízase a dimensións superiores e variedades na seguinte forma : Teorema Se a variedade M é conexa e a variedade N é conexa e simplemente conexa, entón todo difeomorfismo local propio f: M → N é un difeomorfismo.
Exemplos
Todos os intervalos reais abertos non baleiros son difeomorfosLafontaine 2010, p. 21. A aplicación x ↦ x³, de clase C ∞, é un homeomorfismo de ℝ a ℝ pero non é un difeomorfismo, porque a súa derivada en 0 é ceroLafontaine 2010, p. 22.
Poñamos A matriz xacobiana de en todos os puntos é : .
O determinante desta matriz é cero se e só se ou é cero. Polo tanto, a restrición de ao plano privado dos dous eixes é un difeomorfismo local. Pero esta restrición non é inxectiva xa que , nin sobrexectiva xa que se entón .
. Temos .
Grupo de difeomorfismos O grupo de difeomorfismos dunha variedade M de clase C k é o grupo de C k -difeomorfismos de M en M. Denotámolo por Diff k (M) ou Diff(M) cando k é implícito. É " groso ", no sentido de que non é localmente compacto (a non ser que M teña dimensión 0).
As compoñentes conexas deste grupo son as difeotopías da variedade (que compoñen o seu ).
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Categoría:Física matemática Categoría:Topoloxía diferencial Categoría:Xeometría diferencial