En álxebra lineal, a matriz compañeira de Frobenius do polinomio mónico
é a matriz cadrada definida como
Algúns autores utilizan a transposta desta matriz, o cal é máis conveniente para algúns propósitos como as relacións lineais de recorrencia (ver abaixo).
defínese a partir dos coeficientes de , mentres que o polinomio característico, así como o polinomio mínimo de , son iguais a . Neste sentido, a matriz e o polinomio son "compañeiros".
Calquera matriz con entradas nun corpo commutativo ten polinomio característico , o cal á súa vez ten como matriz compañeira . Estas matrices están relacionadas como segue.
As afirmacións seguintes son equivalentes:
A matriz é similar sobre F a , i.e. A pode ser conxugada á matriz compañeira por matrices de ; O polinomio característico e o polinomio mínimo de A coinciden, i.e. o polinomio mínimo ten grao n; a aplicación linear fai de un -módulo cíclico, que ten unha base da forma ; ou equivalentemente, como -módulos.
Se o de enriba ocorre, dise que é non-derogatoria.
Non toda matriz cadrada é similar a unha matriz compañeira, mais cada matriz cadrada é similar a unha matriz diagonal por bloques feita de matrices compañeiras. Se tamén pedimos que o polinomio de cada bloque diagonal divida ao seguinte, entón están determinados unicamente por , e isto dá a forma canónica racional de A.
Sucesións recorrentes lineais Unha sucesión recorrente lineal definida por , ,
ten o polinomio característico,
cuxa matriz compañeira transposta xera a secuencia:
O vector é un autovector desta matriz, onde o autovalor é unha raíz de . Poñer os valores iniciais da sucesión iguais a este vector produce a sucesión xeométrica que satisfai a recurrencia. No caso de autovalores distintos, unha solución arbitraria pódese escribir como combinación lineal de tales solucións xeométricas, e os autovalores de norma complexa máis grande dan unha aproximación asintótica.
Notas
Categoría:Matrices