Во нумеричката интеграција, Симпсоновите правила се неколкуте апроксимации за дефинирани интеграли, што се именувани по Томас Симпсон (1710–1761).
Најосновното од овие правила, наречено Симпсоново правило на 1/3, или само Симпсоново правило, гласи
На германски јазик и на некои други јазици, правилото е именувано по Јоханес Кеплер, кој го извел правилото во 1615 година, откако видел дека се користи за буриња за вино (правило на буриња, ). Приближната еднаквост во равенката со којашто се изразува правилото станува точна еднаквост ако е полином од трет или помал степен.
Ако правилото на 1/3 се примени на n еднакви поделби на интервалот на интеграција [a, b], се добива композитното Симпсоново правило на 1/3. Точките што се во интервалот на интеграцијата имаат наизменични тежински вредности 4/3 и 2/3.
Симпсоновото правило на 3/8, наречено и второ Симпсоново правило, воведува уште едно пресметување на функцијата во границите на интервалот на интеграција. Тоа доведува до пониски граници на грешки, меѓутоа не го подобрува редот на грешката.
Ако правилото на 3/8 се примени на n еднакви поделби на интервалот на интеграцијата [a, b], се добива композитното Симпсоново правило на 3/8.
Симпсоновите правила на 1/3 и на 3/8 се два посебни случаи на затворените Њутн-Коутсови формули.
Во поморската архитектура (поморското инженерство) и за проценка на стабилноста на бродовите, постои и трето Симпсоново правило, што нема особена важност во општата нумеричка анализа; видете ги Симпсоновите правила (стабилност на бродови).
Симпсоново правило на 1/3 Симпсоновото правило на 1/3, наречено едноставно Симпсоново правило, е метод за нумеричка интеграција предложен од Томас Симпсон. Засновано е на квадратната интерполација и е композитно Симпсоново правило на 1/3, пресметано за . Симпсоновото правило на 1/3 е: каде што е големината на чекорот за .
Грешката на апроксимацијата на интеграл, пресметан според Симпсоновото правило, за , е: каде што (грчката буква кси) е некој број помеѓу и .
Оваа грешка е асимптотски пропорционална со . Сепак, горенаведените изведувања укажуваат на грешка што е пропорционална со . Симпсоновото правило добива дополнителен ред на величина , бидејќи точките во кои што се пресметува интеграндот се распоредени рамномерно и симетрично во интервалот .
Пропорционалноста на грешката со четвртиот извод на во точката , покажува дека Симпсоновото правило доведува до точни резултати за кој било полином од степен три или помалку, бидејќи четвртиот извод на таков полином е нула во сите точки од интервалот на интеграција. Друг начин да се види овој резултат е да се забележи дека секој интерполирачки кубен полином може да се изрази како збир од единствен интерполирачки квадратен полином и произволно скалиран кубен полином што исчезнува во сите три точки во интервалот, а интегралот на овој втор член исчезнува бидејќи е непарен во рамките на интервалот.
Ако вториот извод постои и е конвексен во интервалот , тогаш
Изведувања
Квадратна интерполација Нека се разгледува наоѓање на површината под параболата , зададена во општ облик, помеѓу точките и , за некој позитивен број . Средната точка на овој интервал е .
Областа под параболата, , следствено, е:
Ако се претпостави дека параболата има средна точка и крајни точки и , со замената на овие три точки во формулата за параболата, се добива:
Од втората равенка на овој систем следува:
Со додавање на првата и третата равенка и притоа со земање предвид на резултатот од втората равенка, се добива:
Со замена на овој израз во изразот за се добива:
Симпсоновото правило на 1/3 апроксимира интеграл во одреден интервал преку замена на подинтегралната функција (интеграндот) со парабола што ја интерполира функцијата во , и средната точка на интервалот , што произведува:
Поради факторот , Симпсоновото правило е познато и како „Симпсоново правило на 1/3“ (видете подолу за генерализација).
Усреднување на резултатите од правилото на средната точка и правилото на трапез Едно поинакво изведување го конструира Симпсоновото правило со помош на две поедноставни апроксимации. За функции што се однесуваат како полиноми во интервалот , примената на правилото на средна точка произведува: и од правилото на трапез се добива: каде што означува член што асимптотски е пропорционален на . Двата членови не се еднакви; видете за нотацијата големо О за повеќе детали. Од горенаведените формули следува дека водечкиот член на грешката исчезнува ако се земе урамнотежена средна вредност (пондерирана средна вредност):Оваа пондерирана средна вредност е токму Симпсоновото правило.
Со употреба на друга апроксимација (на пример, правилото на трапез, со двојно повеќе точки од Симпсоновото), можно е да се пресмета соодветна пондерирана средна вредност и со тоа да се елиминира и друг член на грешката. Во ова се состои методот на Ромберг.
Неопределени коефициенти Третото изведување започнува ансац од:
Коефициентите , и можат да се фиксираат преку барањето да оваа апроксимација биде точна за сите квадратни полиноми. Ова води кон Симпсоновото правило. (Ова изведување во суштина е помалку ригорозна верзија на квадратната интерполација, при што се изведува со значително помалку операции со погодувањето на точната функционална форма.)
Композитно Симпсоново правило на 1/3 Ако интервалот на интеграција е во извесна смисла „мал“, тогаш Симпсоновото правило со подинтервали води кон адекватна апроксимација на точниот интеграл. Под „мал“ тука се подразбира да функцијата што се интегрира е релативно глатка на интервалот . За таква функција, гладок квадратен интерполант, како оној што се користи во Симпсоновото правило, се добиваат добри резултати.
Сепак, често се случува функцијата што се интегрира да не е глатка на интервалот . Обично ова значи дека функцијата е многу осцилаторна или дека таа нема изводи во одредени точки. Во овие случаи, употребата на Симпсоновото правило може да доведе до многу лоши резултати. Еден вообичаен начин за справување со овој проблем е преку разбивање на интервалот на мали подинтервали. Симпсоновото правило потоа се применува на секој подинтервал, при што резултатите се сумираат за да се добие апроксимацијата за интегралот во целиот интервал. Овој пристап доведува до апроксимативна формула за бараниот интеграл што се нарекува композитно Симпсоново правило на 1/3 или само композитно Симпсоново правило.
Нека се претпостави дека интервалот е поделен на подинтервали, каде што е парен број.
Со поделба на интервалот на подинтервали со должина и воведување на точките , за ( и ), се добива: Ова композитно правило, за , одговара на обичното Симпсоново правило, опишано во претходните оддели на оваа статија.
Грешката што произлегува од употребата на композитното Симпсоново правило е:каде што е некој број помеѓу и , и е „должина на чекорот“. Грешката е ограничена (по апсолутна вредност) со
При оваа формулација интервалот се дели на подинтервали со еднаква должина. Во пракса, често е поволно да се користат подинтервали со различни должини и напорите да се концентрираат на местата каде што подинтегралната функција е понеодредена. Ова води до адаптивниот Симпсонов метод.
Примери
Приближно пресметување на природниот логаритам од 2 Бидејќи определениот интеграл
е еднаков на , вредноста може да се генерира со апроксимација на овој одреден интеграл. Примената на композитното Симпсоново правило на 1/3 со интервали доведува до:
што има релативна грешка од околу .
Апликација за статистиката
Во статистиката, нормалната распределба најчесто се користи за да се опишат централно концентрирани податоци без лева или десна пристрасност. Во случај кога средната вредност е нула, а стандардната девијација е 1, кривата на густина на веројатност на стандардната нормална (или стандардна Гаусова) распределба е дадена со равенката:
Според правилото 68–95–99,7, приближно 68,27% од вредностите на нормираните податоци се во границите на една стандардна девијација од средната вредност. Оваа вредност може да биде потврдена со употреба на композитнотото Симпсоново правило на 1/3, со интервали: што е резултат што се согласува до 3 цифри на прецизност со точната вредност .
Апроксимирање на бројот π Бидејќи
овој израз може да се преуреди и тој води до интегралната претстава на бројот :
Затоа, апроксимациите на може да се генерираат преку апроксимирањето на овој интеграл. Примената на композитното Симпсоново правило на 1/3 со интервали произведува:
што има забележително мала релативна грешка од само околу .
Одредување на број на интервали за посакувана точност Нека се претпостави дека треба да се одреди бројот на интервали потребни за апроксимирање на , а притоа апсолутната грешка да биде помала од . Членот на грешката во композитното Симпсоново правило на 1/3 за подинтегралната функција е:
за некое помеѓу и . Бидејќи апсолутната грешка треба да биде помала од , од изразот за неа може да се пресмета бројот преку неравенството:
што доведува до:
и за се добива потребната точност.
За споредба, може да се употреби композитното правило на трапез за да се добие за кое што апсолутната грешка треба да е помала од , како и претходната. Во овој случај, членот на грешката е:
за некое помеѓу и . Бидејќи апсолутната грешка треба да е помала од , може да се пресмета преку неравенството:
што доведува до:
и ја гарантира потребната точност. Ова значи дека се потребни значително повеќе пресметки во споредба со композитното Симпсоново правило на 1/3 ().
Симпсоново правило на 3/8 Симпсоновото правило на 3/8, наречено и второ Симпсоново правило, е друг метод за нумеричка интеграција што бил предложен од Томас Симпсон. Засновано е на кубна интерполација, а не на квадратна интерполација.
Се разгледува наоѓање на површина, , што е под општа кубна функција - полином, , помеѓу и , за некој позитивен број . Ова е изразено како:
Ако се претпостави дека четирите, еднакво оддалечени точки во интервалот на интеграција, се , , и , со замена на овие четири точки во кубната формула се добива:
Со собирање на првата и третата равенка се добива:
и збирот на четвртата равенка со третата равенка, помножена со два, доведува до:
Со ова се добива израз за површината што се бара:
Симпсоновото правило на 3/8 апроксимира одреден интеграл, што се пресметува во интервал , преку замена на подинтегралната функција со кубен полином што ја интерполира функцијата во четири еднакво оддалечени точки во интервалот на интеграција, , , и , каде што е големината на чекорот. Оваа постапка води до:
Грешката на овој метод е каде што е некој број помеѓу и . На овој начин, правилото на 3/8 е околу двапати попрецизно од стандардниот метод (на 1/3), но затоа има потреба од пресметување на уште една вредност на функцијата. Постои, исто така, и композитно правило на 3/8, слично како погоре.
Понатамошна генерализација на овој концепт за интерполација, со полиноми од произволен степен, се Њутн-Коутсовите формули.
Композитно Симпсоново правило на 3/8 Делењето на интервалот на подинтервали со должина и воведувањето на точките за ( и ), доведува до:
Остатокот за ова правило е: и овој резултат може да се употребува само ако е број што е целоброен производ од бројот 3. Правилото на 1/3 може да се користи за преостанатите подинтервали без притоа да дојде до промена на редот на грешката (и обратно, правилото на 3/8 може да се користи со композитното правило на 1/3 за подинтервалите индексирани со непарни броеви).
Нумерички пример Нека се претпостави дека е потребно да се пресмета должината на лакот, , на синусоидната крива , на интервалот на координатата што соодветствува на половината од периодот на , односно помеѓу 0 и . Со употреба на формулата за должина на лак се добива:
што е неелементарен интеграл, но може да се покаже дека е , каде што е лемнискатната константа.
Примената на Симпсоновото правило на 3/8 со интервали води кон:
што има значително мала релативна грешка од само .
Алтернативно, проширено, Симпсоново правило