У математици, дуални систем, дуални пар или дуалност над пољем јесте уређена тројка која се састоји од два векторска простора, и , над и недегенерисаног билинеарног пресликавања .
У математици, дуалност је проучавање дуалних система и важна је у функционалној анализи. Дуалност игра кључну улогу у квантној механици јер има широку примену у теорији Хилбертових простора.
Дефиниција, нотација и конвенције
Упаривања или пар над пољем јесте тројка која се такође може означити са а састоји се од два векторска простора и над и билинеарног пресликавања које се назива билинеарно пресликавање придружено упаривању, или једноставније пресликавање упаривања односно његова билинеарна форма. Овде наведени примери описују само случајеве када је поље реалних бројева или комплексних бројева , али је математичка теорија општа.
За свако , дефинише се
и за свако дефинише се
Свако је линеарни функционал на , а свако је линеарни функционал на . Због тога и
формирају векторске просторе линеарних функционала.
Уобичајена је пракса да се пише уместо , при чему се у неким случајевима упаривање може означити са уместо . Међутим, овај чланак ће резервисати употребу за канонско пресликавање евалуације (дефинисано у наставку) како би се избегла забуна код читалаца који нису упознати са овом темом.
Дуална упаривања Упаривање се назива , , или над ако је билинеарна форма недегенерисана, што значи да задовољава следећа два аксиома раздвајања: раздваја (разликује) тачке простора : ако за важи да је , тада је ; или еквивалентно, за свако не-нулто , пресликавање није идентитетски једнако (тј. постоји такво да је за свако ); раздваја (разликује) тачке простора : ако за важи да је , тада је ; или еквивалентно, за свако не-нулто пресликавање није идентитетски једнако (тј. постоји такво да је за свако ). У овом случају је недегенерисана, и може се рећи да ставља и у дуалност (или експлицитно, у раздвојену дуалност), а се назива упаривање дуалности за тројку .
Тотални подскупови Подскуп од назива се ако за свако , из следи Тотални подскуп од дефинише се аналогно (видети напомену).Подскуп од је тоталан ако за свако , из следи . Према томе, раздваја тачке од ако и само ако је тотални подскуп од , а слично важи и за .
Ортогоналност Вектори и су ортогонални, што се записује као , ако је . Два подскупа и су ортогонална, што се записује као , ако је ; односно, ако је за све и . Дефиниција ортогоналности подскупа и вектора дефинише се аналогно.
Ортогонални комплемент или анихилатор подскупа јесте Стога је тотални подскуп од ако и само ако је једнако .
Поларни скупови
За дато упаривање над , апсолутни поларни скуп или поларни скуп подскупа из је скуп:Симетрично, апсолутни поларни скуп или поларни скуп подскупа из означава се са и дефинише као
Да би се олакшало праћење антисиметрије две стране дуалности, апсолутни поларни скуп подскупа из може се такође назвати апсолутним претполарним скупом или претполарним скупом од и тада се може означити са .
Поларни скуп је нужно конвексан скуп који садржи , при чему, ако је балансиран, тада је балансиран и , а ако је векторски потпростор од , онда је и векторски потпростор од
Ако је векторски потпростор од тада је и то је такође једнако реалном поларном скупу од Ако је , тада се биполарни скуп од , означен са , дефинише као поларни скуп ортогоналног комплемента од , тј. скуп Слично томе, ако је , тада је биполарни скуп од једнак
Дуалне дефиниције и резултати За дато упаривање дефинише се ново упаривање где је за свако и .
У теорији дуалности постоји конзистентно правило да свака дефиниција за упаривање има одговарајућу дуалну дефиницију за упаривање
Конвенција и дефиниција: За било коју дефиниција упаривања добија се дуална дефиниција њеном применом на упаривање Ове конвенције се такође односе на теореме.
На пример, ако је „ раздваја тачке од ” (односно, „ је тотални подскуп од ”) дефинисано као горе, онда ова конвенција одмах производи дуалну дефиницију „ раздваја тачке од ” (односно, „ је тотални подскуп од ”).
Следећа нотација је готово свеприсутна и омогућава нам да избегнемо додељивање симбола за
Конвенција и нотација: Ако дефиниција и њена нотација за упаривање зависе од редоследа и (на пример, дефиниција Макијеве топологије на ), тада заменом редоследа и подразумевамо примену те дефиниције на (настављајући исти пример, топологија би заправо означавала топологију ).
Као други пример, када се једном дефинише слаба топологија на , означена са , та дуална дефиниција би се аутоматски применила на упаривање како би се добила дефиниција слабе топологије на , и ова топологија би била означена са уместо .
Идентификација са Иако је то технички нетачно и представља злоупотребу нотације, овај чланак ће се придржавати готово свеприсутне конвенције да се упаривање третира равноправно са и да се такође означава са
Примери
Рестрикција упаривања Претпоставимо да је упаривање, да је векторски потпростор од и да је векторски потпростор од . Тада је рестрикција од на упаривање Ако је дуалност, могуће је да рестрикција не буде дуалност (нпр. ако је и ).
Овај чланак ће користити уобичајену праксу да се рестрикција означава са
Канонска дуалност на векторском простору Претпоставимо да је векторски простор и нека означава алгебарски дуални простор од (односно, простор свих линеарних функционала на ). Постоји канонска дуалност где је што се назива пресликавање евалуације или природни односно канонски билинеарни функционал на Приметимо посебно да је за свако само још један начин да се означи ; тј.
Ако је векторски потпростор од , тада се рестрикција од на назива канонским упаривањем, а ако је ово упаривање дуалност, онда се уместо тога назива канонска дуалност. Јасно је да увек раздваја тачке од , тако да је канонско упаривање дуални систем ако и само ако раздваја тачке од Следећа нотација је сада готово свеприсутна у теорији дуалности.
Пресликавање евалуације ће бити означено са (уместо са ), а ће се писати уместо
Претпоставка: Као што је уобичајена пракса, ако је векторски простор и векторски простор линеарних функционала на осим ако није другачије назначено, претпоставиће се да су повезани са канонским упаривањем
Ако је векторски потпростор од , тада раздваја тачке од (или еквивалентно, је дуалност) ако и само ако раздваја тачке од или еквивалентно ако је тоталан (односно, за све имплицира ).
Канонска дуалност на тополошком векторском простору Претпоставимо да је тополошки векторски простор (ТВП) са непрекидним дуалним простором Тада рестрикција канонске дуалности на дефинише упаривање за које раздваја тачке од Ако раздваја тачке од (што је тачно ако је, на пример, Хаусдорфов локално конвексан простор), онда ово упаривање чини дуалност.
Претпоставка: Као што се обично ради, кад год је ТВП, осим ако није другачије назначено, претпоставља се без посебне напомене да је повезан са канонским упаривањем
Поларни скупови и дуали ТВП-ова Следећи резултат показује да су непрекидни линеарни функционали на ТВП-у тачно они линеарни функционали који су ограничени на околини координатног почетка.
Простори са унутрашњим производом и комплексно коњуговани простори Пред-Хилбертов простор је дуално упаривање ако и само ако је векторски простор над или има димензију Овде се претпоставља да је сесквилинеарна форма коњуговано хомогена у својој другој координати и хомогена у својој првој координати.
Ако је реални Хилбертов простор, тада чини дуални систем. Ако је комплексни Хилбертов простор, тада чини дуални систем ако и само ако је Ако је нетривијалан, тада не чини чак ни упаривање јер је унутрашњи производ сесквилинеаран уместо да буде билинеаран.
Претпоставимо да је комплексни пред-Хилбертов простор код којег је множење скаларом означено као и обично јукстапозицијом или тачком Дефинишимо пресликавање
где десна страна користи множење скаларом у Нека означава комплексно коњугован векторски простор простора где представља адитивну групу (тако да је сабирање вектора у идентично сабирању вектора у ), али је множење скаларом у дато пресликавањем (уместо множења скаларом којим је опремљен ).
Пресликавање дефинисано са је линеарно у обе координатеДа је линеарно у својој првој координати је очигледно. Претпоставимо да је скалар. Тада је што показује да је линеарно у својој другој координати. и стога формира дуално упаривање.
Остали примери Претпоставимо да је и за све нека је Тада је упаривање такво да раздваја тачке од али не раздваја тачке од Штавише, Нека је (где је такво да је ), и Тада је дуални систем. Нека су и векторски простори над истим пољем Тада билинеарна форма ставља и у дуалност. Простор низова и његов бета-дуал са билинеарним пресликавањем дефинисаним као за чине дуални систем.
Слаба топологија
Претпоставимо да је упаривање векторских простора над Ако је , тада је слаба топологија на индукована са (и ) најслабија ТВП топологија на означена са или једноставно која чини свако пресликавање непрекидним као функцију од за свако . Ако није јасно из контекста, онда треба претпоставити да је то цело у ком случају се назива слабом топологијом на (индукованом са ). Нотација или (ако не може доћи до забуне) једноставно се користи за означавање опремљеног слабом топологијом Важно је нагласити да слаба топологија зависи искључиво од функције уобичајене топологије на и структуре векторског простора на , али не од алгебарских структура на
Слично томе, ако је , тада је дуална дефиниција слабе топологије на индуковане са (и ), која се означава са или једноставно (погледати напомену за детаље).Слаба топологија на је најслабија ТВП топологија на која чини сва пресликавања непрекидним, када пролази кроз Дуална нотација или једноставно може се такође користити за означавање опремљеног слабом топологијом Ако није јасно из контекста, треба претпоставити да је то цело у ком случају се једноставно назива слаба топологија на (индукована са ).
Дефиниција и нотација: Ако је „” прикључено тополошкој дефиницији (нпр. -конвергира, -ограничено, итд.), то значи да се та дефиниција примењује када први простор (тј. ) носи топологију. Спомињање или чак и се може изоставити ако то не ствара забуну. Тако, на пример, ако низ у „-конвергира” или „слабо конвергира”, то значи да конвергира у , док ако би то био низ у , то би значило да конвергира у ).
Топологија је локално конвексна пошто је одређена фамилијом полунорми дефинисаних са када пролази кроз Ако је и је мрежа у онда -конвергира ка ако конвергира ка у Мрежа -конвергира ка ако и само ако за свако конвергира ка Ако је низ ортонормалних вектора у Хилбертовом простору, тада конвергира слабо ка 0, али не конвергира по норми ка 0 (нити ка било ком другом вектору).
Ако је упаривање и прави векторски потпростор од такав да је дуални пар, тада је строго грубља од
Ограничени подскупови Подскуп од је -ограничен ако и само ако је где је
Хаусдорфово својство Ако је упаривање, онда су следећа тврђења еквивалентна: раздваја тачке од ; Пресликавање дефинише инјекцију из у алгебарски дуални простор простора ; је Хаусдорфова топологија.
Теорема о слабој репрезентацији Следећа теорема је од фундаменталног значаја за теорију дуалности јер у потпуности карактерише непрекидни дуални простор простора
Следи да је непрекидни дуални простор простора
У односу на канонско упаривање, ако је ТВП чији непрекидни дуални простор раздваја тачке на (тј. такав да је Хаусдорфов, што имплицира да је и нужно Хаусдорфов), тада је непрекидни дуални простор простора једнак скупу свих пресликавања типа „евалуација у тачки ” када пролази кроз (тј. пресликавања које слика у ). Ово се уобичајено записује као
Ова веома важна чињеница је разлог зашто се резултати за поларне топологије на непрекидним дуалним просторима, као што је јака дуална топологија на на пример, могу често применити и на оригинални ТВП ; на пример, идентификација са значи да се топологија на може уместо тога посматрати као топологија на