Шасцідзесятковая сістэма злічэння — пазіцыйная сістэма злічэння з цэлалікавай асновай 60. Яна зарадзілася ў старажытных шумераў у III тысячагоддзі да н.э., а пазней была перанятая вавілонянамі як асноўная сістэма для іхняй астраноміі і матэматыкі. Сёння, у перапрацаваным выглядзе, яна шырока выкарыстоўваецца ва ўсім свеце для вымярэння часу, геаметрычных вуглоў і геаграфічных каардынат.
Унікальнасць гэтай сістэмы абумоўлена матэматычнымі ўласцівасцямі самога ліку 60. Гэта звышсастаўны лік, які мае аж дванаццаць дзельнікаў (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 і 60), сярод якіх 2, 3 і 5 з’яўляюцца простымі. Акрамя таго, 60 — гэта найменшы лік, які дзеліцца без астатку на ўсе лічбы ад 1 да 6 (з’яўляецца іхнім найменшым агульным кратным). Дзякуючы такой багатай колькасці множнікаў працаваць з шасцідзесятковымі дробамі на практыцы вельмі зручна, бо яны лёгка спрашчаюцца. Напрыклад, адну гадзіну можна роўна падзяліць на адрэзкі па 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, 2 і 1 хвіліне.
Тэхнічная заўвага: у гэтым артыкуле ўсе шасцідзесятковыя лічбы прадстаўлены звычайнымі дзесятковымі лікамі, калі не пазначана іншае. Напрыклад, найбольшай лічбай у такой сістэме з’яўляецца «59».
Гістарычны нарыс
Перадумовы і паходжанне
Паводле Ота Нойгебаўэра, паходжанне шасцідзесятковай сістэмы злічэння не з’яўляецца такім простым, паслядоўным або адзіным у часе, як гэта часта малююць. З аднаго боку, сістэма надзвычай зручная тым, што яе аснова дзеліцца без астатку на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 і 30. Гэта заўсёды было яе самай магутнай матэматычнай перавагай пры запісе і вылічэнні дробаў. З іншага боку, наяўнасць 60 лічбаў стварала шматлікія нязручнасці: напрыклад, табліца множання на гліняных таблічках налічвала 1770 радкоў. Таму фінікійскім і вавілонскім матэматыкам давялося распрацаваць спецыяльную тэхніку запісу: лік адлюстроўваўся ў пазіцыйнай шасцідзесятковай сістэме, а ягоныя лічбы — у адытыўнай дзесятковай. Праз гэта шасцідзесятковыя абазначэнні заўсёды ўтрымлівалі моцны прыхаваны ўплыў дзесятковай сістэмы.
Дакладнае паходжанне сістэмы да канца не высветлена, і наконт гэтага існуе некалькі гіпотэз: Лічэнне на пальцах: І. М. Весялоўскі выказаў меркаванне, што яна звязана са старажытнымі практыкамі лічэння на фалангах пальцаў. (Падрабязней пра разбор такога спосабу гл. .) Зліццё мер вагі і грошай: О. Нойгебаўэр (у 1927 г.) прапанаваў тэорыю, паводле якой пасля акадскага заваявання шумерскай дзяржавы доўгі час адначасова суіснавалі дзве грашова-вагавыя адзінкі, што запатрабавала іхняй інтэграцыі. Гэта мела відавочныя перавагі для гандляроў і пакупнікоў пры палягчэнні паўсядзённых фінансавых аперацый з вялікай колькасцю тавараў. У канцы 3-га тысячагоддзя да н.э. шумера-акадскія адзінкі вагі ўключалі какару (талант, прыкладна 30 кг), які дзяліўся на 60 ману (мін), што, у сваю чаргу, падзяляліся на 60 шыклу (шэкеляў). Такое дзяленне (1 міна = 60 шэкеляў) стала звыклым і спарадзіла адпаведную сістэму запісу любых лікаў. Падобны погляд падзяляе і гісторык матэматыкі Курт Фогель. Крытыка: І. М. Весялоўскі выступаў з крытыкай гэтай гіпотэзы, адзначаючы, што сістэма існавала ў шумераў яшчэ ў IV тысячагоддзі да н.э., задоўга да акадскага заваявання. Аднак іншыя гісторыкі аспрэчваюць гэта, даказваючы на падставе археалагічных знаходак, што спрадвечная лікавая сістэма шумераў была дзесятковай. Сінтэз больш старажытных сістэм: Французскі гісторык Жорж Іфра ў сваёй манаграфіі «Усеагульная гісторыя лікаў» (1985) аргументаваў меркаванне, што шасцідзесятковая сістэма з’яўляецца вынікам накладання дзвюх больш старажытных сістэм — дванаццатковай і пяцярковай. Археалагічныя знаходкі паказалі, што абедзве гэтыя сістэмы сапраўды выкарыстоўваліся, а шумерскія назвы лікаў 6, 7 і 9 выяўляюць сляды пяцярковага лічэння, якое, відаць, з’яўляецца найбольш старажытным.
Выкарыстанне сістэмы ў старажытнасці не заўсёды было аднастайным. Найбольш паслядоўна яна ўжывалася ў матэматычных табліцах даных. У іншых тэкстах непаслядоўнасці распаўсюджваліся аж да самых базавых клінапісных сімвалаў. Напрыклад, клінапісным сімвалам для 1 быў эліпс, зроблены шляхам прыціскання закругленага канца стыласа пад вуглом да гліны, у той час як сімвалам для 60 быў большы авал, або «вялікая 1». У тых жа тэкстах лік 10 пазначаўся кругам, зробленым перпендыкулярна гліне, а 100 — большым кругам («вялікая 10»). Гэтыя знакі маглі змешвацца паміж сабой нават у межах аднаго ліку. Дэталі і парадкі велічынь часта залежалі ад кантэксту (паколькі нуль не выкарыстоўваўся паслядоўна) і былі характэрнымі для пэўных эпох і культур.
Вавілонская матэматыка
Нягледзячы на назву, шасцідзесятковая сістэма старажытнай Месапатаміі не была «чыстай» сістэмай з асновай 60 (у тым сэнсе, што вавілоняне не мелі 60 асобных унікальных сімвалаў для кожнай лічбы). Замест гэтага яны выкарыстоўвалі арыгінальны гібрыдны падыход: унутры самога шасцідзесятковага разраду працавала дапаможная дзесятковая сістэма на ўзор падыходу «знак-значэнне».
Любая шасцідзесятковая лічба складалася з камбінацыі ўсяго двух базавых клінапісных знакаў: вузкі вертыкальны клін, які абазначаў адзінкі (ад 1 да 9 — , , , , …, ), і шырокі вуглавы знак, які абазначаў дзясяткі (ад 10 да 50 — , , , , ). Такім чынам, значэнне канкрэтнай лічбы вызначалася простым складаннем гэтых знакаў. Напрыклад, лік 35 запісваўся як тры «дзясяткі» і пяць «адзінак».
Для запісу лікаў, большых за 59, вавілоняне выкарыстоўвалі пазіцыйны прынцып. Блокі клінапісных знакаў запісваліся адзін за адным, і кожная пазіцыя (справа налева) азначала наступную ступень шасцідзесяці. Аднак тут хавалася галоўная складанасць для інтэрпрэтацыі: доўгі час у іх не існавала сімвала для нуля. Праз гэта сімвалы для лікаў 1 і 60 выглядалі абсалютна аднолькава — як адзін вертыкальны клін.. Сапраўднае значэнне ліку і ягоны парадак часта даводзілася вызначаць выключна з кантэксту. Толькі ў пазнейшых вавілонскіх тэкстах з’явіўся спецыяльны знак-запаўняльнік (своеасаблівы прататып нуля), але ён ставіўся толькі ў сярэдзіне ліку для абазначэння прапушчаных разрадаў і ніколі не выкарыстоўваўся з правага боку ліку (як, напрыклад, у ліку ).
Гэтая сістэма, нягледзячы на ўяўную грувасткасць запісу, аказалася надзвычай магутным інструментам для складаных вылічэнняў (асабліва для працы з дробамі). Да нашых дзён дайшлі выдатныя артэфакты, такія як гліняная таблічка «Plimpton 322», што сведчыць пра глыбокія матэматычныя і геаметрычныя веды вавілонян. Яшчэ адным уражлівым прыкладам з’яўляецца таблічка «YBC 7289», на якой захаваўся неверагодна дакладны прыблізны падлік квадратнага кораня з 2. Гэта даказвае, што шасцідзесятковая сістэма дазваляла дасягаць высокага ўзроўню дакладнасці, які пазней перанялі і развілі грэчаскія астраномы.
У еўрапейскай навуцы Старажытнагрэчаскія і эліністычныя астраномы перанялі шасцідзесятковую сістэму непасрэдна ад вавілонян разам з іхнімі табліцамі назіранняў за небам. Важную ролю ў гэтым працэсе перадачы ведаў адыграў Берос — вавілонскі жрэц і астраном III стагоддзя да н.э. Перабраўшыся ў Грэцыю, ён заснаваў на востраве Кос астралагічную школу і непасрэдна пазнаёміў антычны свет з дасягненнямі месапатамскай астраноміі. Падрабязней пра ўплыў вавілонскай навукі на антычных грэкаў гл. .
Цікава, што шасцідзесятковая сістэма знайшла адлюстраванне і ў грэчаскай філасофіі. У VIII кнізе «Дзяржавы» Платона прыводзіцца алегорыя шлюбу, засяроджаная на ліку 604 = і ягоных дзельніках. У шасцідзесятковай сістэме гэты лік мае асабліва просты выгляд: 1,0,0,0,0. Пазнейшыя даследчыкі звярталіся як да вавілонскай матэматыкі, так і да тэорыі музыкі ў спробах растлумачыць гэты загадкавы ўрывак.
Аднак у практычных вылічэннях антычныя вучоныя ўнеслі важныя карэктывы: яны выкарыстоўвалі аснову 60 выключна для запісу дробаў (дробных частак адзінкі), у той час як для цэлых лікаў ужывалі ўласныя традыцыйныя сістэмы. У II стагоддзі н.э. Клаўдзій Пталамей у сваім фундаментальным трактаце па матэматычнай астраноміі «Альмагест» выкарыстоўваў шасцідзесятковыя дробы. Ягоная табліца хорд, якая больш за тысячагоддзе заставалася галоўным трыганаметрычным даведнікам, утрымлівала дробныя часткі градуса з асновай 60 (што практычна эквівалентна сучаснай табліцы сінусаў). Іншы выбітны грэчаскі матэматык, Тэон Александрыйскі, пакінуў пасля сябе падрабязны метад вылічэння квадратных каранёў для лікаў, запісаных у шасцідзесятковай сістэме.
Што тычыцца паўсядзённага жыцця, то тут антычная Еўропа хутчэй аддалялася ад вавілонскай спадчыны. Напрыклад, грэкі свядома змянілі старажытную ўсходнюю прапорцыю мер вагі, зрабіўшы шэкель часткай міны замест , каб адаптаваць яе да больш звыклай для іх дзесятковай логікі.
У сярэднявечную Еўропу больш дасканалыя шасцідзесятковыя метады трапілі шмат у чым дзякуючы кантактам з арабо-мусульманскім светам. Сярэднявечныя астраномы пачалі актыўна выкарыстоўваць шасцідзесятковыя лікі для запісу часу. У 1000 годзе Аль-Біруні падчас абмеркавання яўрэйскіх месяцаў упершыню падзяліў гадзіну ў шасцідзесятковай сістэме на дробныя часткі: хвіліны, секунды, тэрцыі і кварты. Каля 1235 года каталіцкі манах і астраном Іаан Сакрабоска працягнуў гэтую традыцыю, хаця гісторык Нотхафт меркаваў, што менавіта Сакрабоска зрабіў гэта першым. Пазней, каля 1320 года, у парыжскай версіі «Альфонсавых табліц» дзень выкарыстоўваўся як асноўная адзінка часу, а ўсе ягоныя кратныя велічыні і дробныя часткі запісваліся ў шасцідзесятковай сістэме абазначэнняў.
Сярод еўрапейскіх інтэлектуалаў нават узнікалі ідэі зрабіць гэтую сістэму асноўнай. У XIII стагоддзі ўплывовы рэктар Парыжскага ўніверсітэта Пётр Філамен (вядомы як ), а ў XV стагоддзі прафесар матэматыкі Венскага ўніверсітэта Іаган Гмундэн выступалі за паўсюднае ўкараненне шасцідзесятковай сістэмы ва ўсіх сферах еўрапейскай навукі. Аднак абедзве ініцыятывы засталіся без наступстваў.
Пачынаючы з XVI стагоддзя зручныя дзесятковыя дробы пачалі імкліва і канчаткова выцясняць шасцідзесятковыя з шырокага ўжытку. Тым не менш, у астраноміі сістэма захоўвала свае пазіцыі і часта выкарыстоўвалася еўрапейскімі вучонымі для выканання разлікаў аж да 1671 года. Напрыклад, у канцы XVI стагоддзя такія выдатныя матэматыкі, як Ёст Бюргі ў сваім трактаце «Fundamentum Astronomiae» (які быў прадстаўлены імператару Рудольфу II у 1592 годзе), ягоны калега Урсус у «Fundamentum Astronomicum» і, магчыма, Генры Брыгс, выкарыстоўвалі спецыяльныя табліцы множання на аснове шасцідзесятковай сістэмы для вылічэння сінусаў.
Хаця ў штодзённых еўрапейскіх вылічэннях сістэма не прыжылася, яе ўплыў на гандаль і побыт захоўваўся стагоддзямі. Гэтыя адгалоскі жывыя і сёння ў такіх тэрмінах і мерах, як тузін (12), паўтузіна (6), і асабліва ў нямецкім слове (копа) — гістарычнай адзінцы лічэння, якая азначае роўна 60 штук.
Іншае гістарычнае выкарыстанне Прапорцыя і яе сімвалічнае значэнне глыбока ўкараніліся ў культуры і рэлігійных тэкстах Блізкага Усходу. Выдатны прыклад — Вавілонскі Талмуд, дзе прыводзіцца наступнае параўнанне, цалкам пабудаванае на шасцідзесятковым дзяленні:
Агонь — частка геены вогненнай. Фінікавы нектар — частка манны нябеснай. Шабат — частка раю. Сон — частка смерці. Мара — частка прароцтва.
У старажытным Кітаі лік 60 стаў асновай для вымярэння доўгіх перыядаў часу. У традыцыйным кітайскім календары гістарычна выкарыстоўваецца 60-гадовы цыкл, які ўтвараецца камбінацыяй дзвюх паслядоўнасцей: 10 «нябесных ствалоў» і 12 «зямных галін». Адзін і той жа ствол і галіна супадаюць і паўтараюцца кожныя 60 крокаў гэтага цыкла. Сістэматычнае вымярэнне часу такім чынам пачалося яшчэ ў часы дынастыі Шан (паміж 1191 і 1154 гадамі да н.э.). Паводле ж эзатэрычных легенд, гэты шасцідзесятковы цыкл іерогліфаў і дванаццаці музычных тонаў быў вынайдзены яшчэ раней — міфічным Жоўтым імператарам.