thumb|alt=Prazna vaga|Zdjelice ove vage sadrže nula predmeta, podijeljenih u dvije jednake grupe.

U matematici, nula je paran broj. Drugim riječima, njena parnost – karakteristika cijelog broja da bude paran ili neparan – parna je. Ovo se može lahko provjeriti na osnovu definicije "parnog": nula je cjelobrojni višekratnik broja dva, tačnije . Kao rezultat, nula dijeli sva svojstva koja karakterišu parne brojeve: naprimjer, nula je s obje strane okružena neparnim brojevima, svaki decimalni cijeli broj ima istu parnost kao i njegova posljednja cifra – pa pošto je deset parno, nula će biti parna, a ako je parno, onda ima istu parnost kao – zaista, i uvijek imaju istu parnost.

Nula se također uklapa u obrasce koje formiraju drugi parni brojevi. Pravila parnosti u aritmetici, kao što je , zahtijevaju da nula bude parna. Nula je aditivni neutralni element grupe parnih cijelih brojeva, i ona je početni slučaj iz kojeg se drugi parni prirodni brojevi rekurzivno definišu. Primjene ove rekurzije, od teorije grafova do računarske geometrije, oslanjaju se na to da je nula parna. Ne samo da je nula djeljiva sa dva, nego je djeljiva sa svakim stepenom broja dva, što je važno za binarni brojni sistem koji koriste računari. U tom smislu, riječ je o broju koji je "najparniji" od svih. "Po istom testu nula nadmašuje sve brojeve u 'parnosti'."; "Tako je cijeli broj onaj koji je najviše 'paran'."

Među širom javnosti, parnost nule može biti izvor zabune. U eksperimentima za vrijeme reakcije, većina ljudi sporije identifikuje nulu kao paran broj nego brojeve dva, četiri, šest ili osam. Neki nastavnici – kao i neka djeca na časovima matematike – misle da je nula neparna, ili i parna i neparna, ili nijedno. Istraživači u oblasti matematičkog obrazovanja predlažu da ove zablude mogu postati prilike za učenje. Proučavanje jednakosti kao što je može otkloniti sumnje učenika u vezi s nazivanjem nule brojem i njenim korištenjem u aritmetici. Diskusije u razredu mogu navesti učenike da cijene osnovne principe matematičkog zaključivanja, kao što je važnost definicija. Ocjenjivanje parnosti ovog izuzetnog broja rani je primjer sveprisutne teme u matematici: apstrakcije poznatog koncepta u nepoznato okruženje.

Zašto je nula parna Standardna definicija "parnog broja" može se upotrijebiti da se direktno dokaže da je nula parna. Broj se naziva "parnim" ako je cjelobrojni višekratnik broja dva. Kao primjer, razlog zašto je deset paran broj jeste taj što je jednak . Na isti način, nula je cjelobrojni višekratnik broja dva, naime pa je nula parna.: Lema B.2.2, Cijeli broj 0 je paran i nije neparan. Penner koristi matematički simbol ∃, egzistencijalni kvantifikator, da bi naveo dokaz: "Da bismo vidjeli da je 0 parna, moramo dokazati da a to slijedi iz jednakosti ."

Također je moguće objasniti zašto je nula parna bez pozivanja na formalne definicije. raspravljaju o ovom izazovu za nastavnika u osnovnoj školi, koji želi dati matematičke razloge za matematičke činjenice, ali čiji učenici ne koriste istu definiciju niti bi je razumjeli da je uvedena. Sljedeća objašnjenja daju smisao ideji da je nula parna u smislu osnovnih koncepata brojeva. Na tom temelju, moguće je pružiti logično objašnjenje za samu definiciju – i njenu primjenjivost na nulu.

Osnovna objašnjenja thumb|alt=Na lijevoj strani, okviri s 0, 2 i 4 bijela predmeta u parovima; na desnoj strani, 1, 3 i 5 predmeta, s neuparenim predmetom u crvenoj boji|Okvir s nula predmeta nema crvenog predmeta koji je ostao kao višak.Uporediti sa Slika 1 Kad je dat skup predmeta, broj se koristi za opisivanje koliko predmeta ima u skupu. Nula je broj nijednog predmeta; u formalnijim terminima, to je broj predmeta u praznom skupu. Koncept parnosti koristi se za pravljenje grupa od po dva predmeta. Ako se predmeti u skupu mogu podijeliti u grupe od po dva, bez ostatka, onda je broj predmeta paran. Ako jedan predmet ostane, onda je broj predmeta neparan. Prazan skup sadrži nula grupa od po dva, i nijedan predmet ne ostaje nakon ovog grupisanja, pa je nula parna. "...brojevi odgovaraju na pitanje 'Koliko?' za skup predmeta ... nula je brojčano svojstvo praznog skupa ... Ako se elementi svakog skupa podijele u grupe od po dva ... onda je broj tog skupa paran broj."

Ove ideje mogu se ilustrovati crtanjem predmeta u parovima. Teško je prikazati nula grupa od po dva, ili naglasiti nepostojanje preostalog predmeta, pa pomaže nacrtati druga grupisanja i uporediti ih s nulom. Naprimjer, u grupi od pet predmeta postoje dva para. Što je još važnije, postoji preostali predmet, pa je pet neparno. U grupi od četiri predmeta nema preostalog predmeta, pa je četiri parno. U grupi od samo jednog predmeta nema parova, i postoji preostali predmet, pa je jedan neparno. U grupi od nula predmeta nema preostalog predmeta, pa je nula parna. "Nula grupa od po dvije zvijezde je zaokružena. Nijedna zvijezda ne ostaje. Stoga je nula paran broj."

Postoji još jedna konkretna definicija parnosti: ako se predmeti u skupu mogu smjestiti u dvije grupe jednake veličine, onda je broj predmeta paran. Ova definicija ekvivalentna je prvoj. Opet, nula je parna jer se prazan skup može podijeliti u dvije grupe od po nula elemenata.

Brojevi se također mogu vizualizirati kao tačke na brojevnoj pravoj. Kada se parni i neparni brojevi razlikuju jedni od drugih, njihov obrazac postaje očigledan, posebno ako su uključeni negativni brojevi: center|alt=Cijeli brojevi od −4 do 10; parni brojevi su prazni krugovi; neparni brojevi su tačke Parni i neparni brojevi smjenjuju se. Počevši od bilo kojeg parnog broja, brojanje prema gore ili dolje za dva dolazi do drugih parnih brojeva, te nema razloga da se preskoči nula.; uporediti njenu Sliku 3. "Ako se parni brojevi identificiraju na neki poseban način ... nema apsolutno nikakvog razloga da se izostavi nula iz obrasca."

Uvođenjem množenja, parnosti se može pristupiti na formalniji način koristeći aritmetičke izraze. Svaki cijeli broj je ili oblika ili prvi brojevi su parni, a drugi su neparni. Naprimjer, jedan je neparan jer je a nula je parna jer je Pravljenje tabele ovih činjenica zatim pojačava sliku brojevne prave iznad. "Na naprednijem nivou ... brojevi izraženi kao su parni brojevi ... nula se lijepo uklapa u ovaj obrazac."

Definisanje parnosti Precizna definicija matematičkog termina, kao što je "paran" što znači "cjelobrojni višekratnik broja dva", u konačnici jeste stvar konvencije. Za razliku od termina "paran", neki matematički termini namjerno su konstruisani da isključe trivijalne ili degenerisane slučajeve. Prosti brojevi poznat su primjer. Prije dvadesetog stoljeća, definicije prostih brojeva bile su nedosljedne, a značajni matematičari poput Goldbacha, Lamberta, Legendrea, Cayleya i Kroneckera pisali su da je broj jedan prost. Moderna definicija "prostog broja" jeste "pozitivni cijeli broj s tačno dva djelitelja", tako da jedan nije prost. Ova definicija može se logički opravdati uočavanjem da prirodnije odgovara matematičkim teoremama koje se odnose na proste brojeve. Naprimjer, osnovna teorema aritmetike lakše se formuliše kada se broj jedan ne smatra prostim. "Naizgled proizvoljno isključivanje broja jedan iz definicije prostog broja … ne izražava neku duboku činjenicu o brojevima: to se samo pokazalo kao korisna konvencija, usvojena da bi postojao samo jedan način faktorizacije bilo kojeg datog broja u proste brojeve." Za detaljniju diskusiju pogledajte .

Bilo bi moguće na sličan način redefinisati termin "paran" tako da više ne uključuje nulu. Međutim, u ovom slučaju, nova definicija otežala bi formulisanje teorema u vezi s parnim brojevima. Efekat se već može vidjeti u algebarskim pravilima koja upravljaju parnim i neparnim brojevima. Najvažnija pravila odnose se na sabiranje, oduzimanje i množenje: paran ± paran = paran neparan ± neparan = paran paran × cijeli broj = paran Ubacivanjem odgovarajućih vrijednosti u lijeve strane ovih pravila, može se dobiti nula na desnim stranama: 2 − 2 = 0 −3 + 3 = 0 4 × 0 = 0

Gore navedena pravila stoga bi bila netačna da nula nije parna. U najboljem slučaju, morala bi biti modifikovana. Naprimjer, jedan vodič za učenje za testove tvrdi da se parni brojevi karakterišu kao cjelobrojni višekratnici broja dva, ali da nula "nije ni parna ni neparna". Shodno tome, pravila vodiča za parne i neparne brojeve sadrže izuzetke: paran ± paran = paran (ili nula) neparan ± neparan = paran (ili nula) paran × nenulti cijeli broj = paran Ova pravila su navedena, ali nisu citirana doslovno.

Pravljenje izuzetka za nulu u definiciji parnosti primorava osobu da napravi takve izuzetke u pravilima za parne brojeve. Iz druge perspektive, uzimanje pravila kojih se drže pozitivni parni brojevi i zahtijevanje da ona nastave važiti za cijele brojeve primorava na uobičajenu definiciju i parnost nule.

Matematički konteksti Neizmjerni rezultati u teoriji brojeva pozivaju se na osnovnu teoremu aritmetike i algebarska svojstva parnih brojeva, pa gore navedeni izbori imaju dalekosežne posljedice. Naprimjer, činjenica da pozitivni brojevi imaju jedinstvene faktorizacije znači da se može odrediti ima li broj paran ili neparan broj različitih prostih faktora. Budući da jedan nije prost broj, niti ima proste faktore, on je prazan proizvod nula različitih prostih brojeva; budući da je nula paran broj, jedan ima paran broj različitih prostih faktora. To implicira da Möbiusova funkcija uzima vrijednost , što je neophodno da bi bila multiplikativna funkcija i da bi Möbiusova formula inverzije radila.

Odsustvo neparnosti Broj jeste neparan ako postoji cijeli broj takav da je . Jedan od načina da se dokaže da nula nije neparna jeste dokaz kontradikcijom: ako je onda je , što nije cijeli broj. Budući da nula nije neparna, ako se dokaže da je neki nepoznat broj neparan, onda on ne može biti nula. Ovo naizgled trivijalno zapažanje može pružiti zgodan i jasan dokaz koji objašnjava zašto je neki neparan broj različit od nule.

Klasični rezultat teorije grafova navodi da graf neparnog reda (koji ima neparan broj čvorova) uvijek ima barem jedan čvor parnog stepena. (Sama izjava zahtijeva da nula bude parna: prazan graf ima paran red, a izolovani čvor ima paran stepen.) Za izolirane čvorove pogledajte str. 149; za grupe pogledajte str. 311. Kako bi se dokazala ova tvrdnja, zapravo je lakše dokazati snažniji rezultat: svaki graf neparnog reda ima neparan broj čvorova parnog stepena. Pojava ovog neparnog broja objašnjena je još općijim rezultatom, poznatim kao lema o rukovanju: svaki graf ima paran broj čvorova neparnog stepena. Na kraju, paran broj neparnih čvorova prirodno se objašnjava formulom sume stepena.

Spernerova lema jeste naprednija primjena iste strategije. Lema navodi da određena vrsta bojenja na triangulaciji simpleksa ima podsimpleks koji sadrži sve boje. Umjesto da se direktno konstruira takav podsimpleks, praktičnije je dokazati da postoji neparan broj takvih podsimpleksa pomoću argumenta matematičke indukcije. Snažnija formulacija leme tada objašnjava zašto je ovaj broj neparan: on se prirodno razlaže kao kada se u obzir uzmu dvije moguće orijentacije simpleksa.

Smjenjivanje parnog i neparnog right|thumb|alt=0->1->2->3->4->5->6->... u naizmjeničnim bojama|Rekurzivna definicija parnosti prirodnih brojeva

Činjenica da je nula parna, zajedno sa činjenicom da se parni i neparni brojevi smjenjuju, dovoljna je da se odredi parnost svakog drugog prirodnog broja. Ova ideja može se formalizirati u rekurzivnu definiciju skupa parnih prirodnih brojeva: 0 jeste parno. (n + 1) jeste parno ako i samo ako n nije parno.