În mecanica statistică, modelul Potts, o generalizare a modelului Ising, este un model al spinurilor interacționante pe o rețea Bravais. Studiind modelul Potts, se pot obține informații privind comportamentul feromagneților și anumite alte fenomene din fizica stării solide. Puterea modelului Potts constă într‑adevăr mai puțin în capacitatea sa de a descrie bine aceste sisteme fizice, ci în faptul că cazul unidimensional este și că are o formulare matematică bogată, care a fost studiată în mod extins.
Modelul își trage numele de la , care l‑a descris spre sfârșitul tezei sale de doctorat din 1951. Modelul a fost relaționat cu „modelul Potts planar” sau „”, care i‑a fost sugerat de către directorul său de doctorat, . Modelul Potts cu patru stări este cunoscut uneori sub numele de modelul Ashkin–Teller, după și Edward Teller, care au considerat un model echivalent în 1943 (deși, pentru a evita confuzia, modelul Potts cu patru stări este un caz particular al unui model mai general pe care îl introduc, model care este și el uneori numit Ashkin–Teller).
Modelul Potts este legat de și generalizat de mai multe alte modele, printre care , modelul Heisenberg clasic și . Modelul Potts cu rază de interacție infinită este cunoscut ca modelul Kac. Atunci când spinurile interacționează într‑un mod , modelul este legat de , care este utilizat pentru discutarea fenomenului de confinare în cromodinamica cuantică. Generalizări ale modelului Potts au fost folosite și pentru a modela , maturarea în spume și proprietățile statistice ale . O generalizare ulterioară a acestor metode, realizată de și François Graner, cunoscută ca modelul Potts celular, a fost folosită pentru a simula fenomenele statice și cinetice în spume și în biologică.
Definiție
Modelul Potts vectorial Modelul Potts constă în spini plasați pe o rețea; rețeaua este, de regulă, o rețea euclidiană rectangulară bidimensională, dar este adesea generalizată la alte dimensiuni și structuri de rețea.
Inițial, Domb a sugerat ca spinul să ia una dintre valori posibile, distribuite uniform pe un cerc, la unghiuri
unde , iar hamiltonianul de interacție este dat de
unde suma este efectuată peste perechile de vecini primi de pe întreaga rețea și cu constantă de cuplaj, care determină intensitatea interacțiunii. Această variantă este cunoscută ca modelul Potts vectorial sau modelul de ceas. Potts a furnizat locația transformării de fază bidimensional pentru . În limita , acest model devine .
Modelul Potts standard Ceea ce este cunoscut astăzi ca modelul Potts standard a fost sugerat de Potts în cursul studierii modelului de mai sus și este definit de un hamiltonian mai simplu:
unde este , care este egal cu 1 atunci când și 0 în rest.
Modelul Potts standard cu este echivalent cu modelul Ising și cu modelul Potts vectorial cu două stări, cu . Modelul Potts standard cu este echivalent cu modelul Potts vectorial cu trei stări, cu .
Modelul Potts generalizat O generalizare a modelului Potts este frecvent utilizată în inferența statistică și în biofizică, în particular pentru modelarea proteinelor prin . Modelul Potts generalizat constă în „spinuri”, fiecare putând lua stări: (fără un anumit ordin prestabilit). Hamiltonianul este
unde este costul energetic pentru spinul aflându‑se în starea în timp ce spinul se află în starea , iar este costul energetic pentru spinul în starea . Observație: . Acest model seamănă cu modelul Sherrington‑Kirkpatrick prin faptul că cuplajele pot fi neomogene și nelocale. În acest model nu există o structură explicită de rețea.
Proprietăți fizice Transformări de fază În ciuda simplității sale ca model fizic, modelul Potts este util ca sistem model pentru studiul transformărilor de fază. De exemplu, pentru modelul Potts feromagnetic standard în , o transformare de fază există pentru toate valorile reale , cu punctul critic la . Transformarea de fază este continuă (de ordinul doi) pentru și discontinuă (de ordinul întâi) pentru .
Pentru modelul de ceas, există indicii că transformările de fază corespunzătoare sunt transformări de ordin infinit, și se observă o transformare de fază continuă atunci când . Se găsesc aplicații suplimentare prin legătura modelului cu probleme de percolare și cu polinoamele și din combinatorică. Pentru valorile întregi , modelul prezintă fenomenul de „adsorbție interfacială”, cu proprietăți de interesante atunci când se fixează limite opuse ale rețelei în două stări diferite.
Relația cu modelul random cluster Modelul Potts are o relație strânsă cu modelul Fortuin–Pieter Kasteleyn al clusterelor aleatorii, alt model din mecanica statistică. Înțelegerea acestei relații a ajutat la dezvoltarea unor metode eficiente de tip pentru explorarea numerică a modelului pentru mici, și a condus la demonstrarea riguroasă a temperaturii critice a modelului.
La nivelul funcției de partiție , relația constă în transformarea sumei peste configurațiile de spin într‑o sumă peste configurațiile de muchii , adică mulțimi de perechi de vecini primi de aceeași culoare. Transformarea este realizată cu identitatea
Aceasta duce la rescrierea funcției de partiție ca
unde clusterele FK sunt componentele conexe ale reuniunii segmentelor închise . Aceasta este proporțională cu funcția de partiție a modelului clusterelor aleatorii, cu probabilitatea de muchie deschisă . Un avantaj al formulării clusterelor aleatorii este că poate fi un număr complex arbitrar, nu doar un întreg natural.
În mod alternativ, în loc de clustere FK, modelul poate fi formulat în termeni de clustere de spin, folosind identitatea
Un cluster de spin este reuniunea clusterelor FK vecine care au aceeași culoare: două clustere de spin vecine au culori diferite, în timp ce două clustere FK vecine sunt colorate independent.
Descriere bazată pe măsuri Modelul Potts unidimensional poate fi exprimat în termeni de , dobândind astfel acces la toate tehnicile matematice asociate acestei formalizări. În special, poate fi rezolvat exact cu ajutorul . (Totuși, a folosit metode combinatorii pentru a rezolva modelul Ising, strămoșul modelului Potts, în teza sa de doctorat din 1924.) Această secțiune dezvoltă formalismul matematic, bazat pe teoria măsurii, din spatele acestei soluții.
În timp ce exemplul de mai jos este construit pentru cazul unidimensional, multe dintre argumente și aproape toată notația se generalizează ușor la orice număr de dimensiuni. O parte din formalism este suficient de generală pentru a acoperi și alte modele, precum , modelul Heisenberg clasic și .
Topologia spațiului de stări Fie o mulțime finită de simboluri și fie
mulțimea tuturor șirurilor bi‑infinite de valori din . Această mulțime este numită . Pentru definirea modelului Potts se poate folosi fie întregul spațiu, fie un anumit subansamblu al acestuia, un . În această notație, „deplasarea” provine dintr‑un operator natural definit pe acest spațiu, , dat de
Pe acest spațiu există o topologie naturală de tip , baza acestei topologii fiind :
adică mulțimea tuturor șirurilor în care spinuri coincid exact cu o colecție dată de valori . O reprezentare explicită a mulțimilor cilindrice se poate obține observând că șirul de valori corespunde unui , însă topologia naturală a numerelor q‑adici este mai fină decât topologia produs de mai sus.
Energia de interacție Interacțiunea dintre spini este dată de o funcție continuă pe această topologie. Orice funcție continuă poate fi folosită; de exemplu,
va descrie interacțiunea între vecinii cei mai apropiați. Desigur, funcții diferite produc interacțiuni diferite: o funcție de , și va descrie o interacțiune cu vecinul al doilea. O funcție dă energia de interacție între o mulțime de spinuri; nu este în sine hamiltonianul, dar este folosită pentru a‑l construi. Argumentul funcției este un element , adică un șir infinit de spinuri. În exemplul de mai sus, funcția „selectează” doar două spinuri din șirul infinit: valorile și . În general, funcția poate depinde de unele sau de toate spinurile; deocamdată, doar cele care depind de un număr finit sunt exact rezolvabile.
Se definește funcția prin
Această funcție poate fi văzută ca fiind compusă din două părți: energia proprie a unei configurații de spinuri, plus energia de interacție dintre această mulțime și toate celelalte spinuri din rețea. Limita a acestei funcții este hamiltonianul sistemului; pentru finit, acestea sunt uneori numite hamiltonieni de stare finită.
Funcție de partiție și măsură Funcția de partiție corespunzătoare, de tip stare finită, este dată de
unde sunt mulțimile cilindrice definite mai sus. Aici, , unde este constanta Boltzmann, iar este temperatura. În abordările pur matematice este frecvent să se seteze , deoarece acesta se poate recupera ușor prin scalarea energiei de interacție. Funcția de partiție este scrisă ca funcție de interacțiunea pentru a sublinia că depinde numai de interacțiune, nu de o configurație specifică de spinuri. Funcția de partiție, împreună cu hamiltonianul, este folosită pentru a defini o măsură pe σ‑algebra Borel în modul următor: măsura unei mulțimi cilindrice, adică a unui element din bază, este dată de
Prin aditivitate numărabilă se poate extinde această formulă la întreaga σ‑algebra. Această măsură este o : oferă probabilitatea de apariție a unei anumite configurații în . Echipând spațiul de configurații cu o măsură construită astfel dintr‑un hamiltonian, acest spațiu devine un .
Majoritatea proprietăților termodinamice pot fi exprimate direct în termeni de funcție de partiție. De exemplu, este dată de
O altă mărime importantă asociată este presiunea topologică, definită ca
care apare ca logaritmul valorii proprii dominante a soluției.
Soluția de tip câmp liber Cazul cel mai simplu este modelul în care nu există deloc interacțiuni, deci și (cu constantă, independentă de configurația de spinuri). Funcția de partiție devine
Dacă toate stările sunt permise, adică spațiul de stări de bază este dat de o , atunci suma se poate evalua trivial ca
Dacă configurațiile vecine de spini sunt permise doar în anumite configurații specifice, atunci spațiul stărilor este dat de o . În acest caz, funcția de partiție se poate scrie ca
unde indică unei mulțimi, iar este mulțimea punctelor fixe ale funcției de deplasare iterată:
Matricea este matricea de adiacență care specifică ce valori ale spinului vecin sunt permise.
Modelul interacționant Cazul cel mai simplu de model interacționant este modelul Ising, în care spinul poate lua doar două valori, și interacționează doar cu vecinii direcți. Potențialul de interacție este dat de
Acest potențial poate fi captat de o matrice cu elementele
unde . Funcția de partiție devine
Soluția generală pentru un număr arbitrar de spinuri și pentru o interacțiune de rază finită arbitrară are aceeași formă generală; în acest caz, expresia exactă pentru matricea este puțin mai complexă.
Scopul rezolvării unui model de tipul Potts este să se obțină o pentru funcția de partiție și pentru stările Gibbs sau stările de echilibru în limita , adică în .
Aplicații Prelucrarea semnalelor și a imaginilor Modelul Potts are aplicații în reconstrucția semnalelor. Presupunem că primim o observație zgomotoasă a unui semnal constant pe porțiuni, în . Pentru a recupera din vectorul de observație zgomotoasă în , se caută un minimizator al corespunzători probleme inverse, funcționala Lp‑Potts , definită prin
Penalizarea de salt forțează soluții constante pe porțiuni, iar termenul de date „ancorează” funcția de minimizare de datele . Parametrul controlează compromisul între regularitate (sparsitatea numărului de salturi) și . Există algoritmi rapizi pentru minimizarea exactă a funcționalei ‑Potts și ‑Potts.
În prelucrarea imaginilor, funcționala Potts este legată de problema de segmentare. Totuși, în bidimensional această problemă este NP‑hard.
Note
Vezi și Modelul clusterelor aleatorii
Modelul Ising pe rețea pătrată
Modelul Potts celular