У функционалној анализи, Хан-Банахова теорема је централни резултат који омогућава проширење ограничених линеарних функционала дефинисаних на векторском потпростору неког векторског простора на цео простор. Теорема такође показује да постоји довољно непрекидних линеарних функционала дефинисаних на сваком нормираном векторском простору како би се проучавао дуални простор. Друга верзија Хан—Банахове теореме позната је као Хан-Банахова теорема о раздвајању или Теорема о раздвајању хиперравни, и има бројне примене у конвексној геометрији.
Историја
Теорема је названа по математичарима Хансу Хану и Стефану Банаху, који су је независно доказали крајем 1920-их година. Специјалан случај ове теореме за простор непрекидних функција на интервалу доказао је раније (1912. године) Едуард Хели, док је општију теорему о проширењу, теорему М. Риса о проширењу, из које се Хан-Банахова теорема може извести, 1923. године доказао Марсел Рис.Види Теорема М. Риса о проширењу. Према , аргумент је Рису био познат још 1918. године.
Прву Хан—Банахову теорему доказао је Едуард Хели 1912. године, који је показао да одређени линеарни функционали дефинисани на потпростору одређеног типа нормираног простора () имају проширење исте норме. Хели је ово учинио користећи технику првобитног доказивања да постоји једнодимензионално проширење (где је домен линеарног функционала проширен за једну димензију), а затим користећи математичку индукцију. Године 1927, Хан је дефинисао опште Банахове просторе и искористио Хелијеву технику да би доказао верзију Хан—Банахове теореме која очувава норму за Банахове просторе (где ограничени линеарни функционал на потпростору има ограничено линеарно проширење исте норме на цео простор). Године 1929, Банах, који није био упознат са Хановим резултатом, уопштио ју је тако што је верзију која очувава норму заменио верзијом доминираног проширења која користи сублинеарне функције. Док је Хелијев доказ користио математичку индукцију, Хан и Банах су користили трансфинитну индукцију.
Хан-Банахова теорема је проистекла из покушаја да се реше бесконачни системи линеарних једначина. Ово је неопходно за решавање проблема као што је проблем момената, при чему на основу свих потенцијалних момената функције треба утврдити да ли функција са тим моментима постоји, и ако да, пронаћи је преко тих момената. Други такав проблем је проблем Фуријеовог косинусног реда, при чему, имајући све потенцијалне Фуријеове косинусне коефицијенте, треба утврдити да ли функција са тим коефицијентима постоји, и, поново, пронаћи је ако постоји.
Рис и Хели су решили проблем за одређене класе простора (као што су и ) где су открили да је постојање решења еквивалентно постојању и непрекидности одређених линеарних функционала. У суштини, морали су да реше следећи проблем:
() Дат је скуп ограничених линеарних функционала на нормираном простору и скуп скалара утврдити да ли постоји тако да важи за све
Ако је случајно рефлексивни простор, онда за решавање векторског проблема, довољно је решити следећи дуални проблем:
(Функционални проблем) Дат је скуп вектора у нормираном простору и скуп скалара утврдити да ли постоји ограничени линеарни функционал на тако да важи за све
Рис је затим 1910. године дефинисао простор (), а 1913. године просторе. Током проучавања ових простора доказао је специјалан случај Хан—Банахове теореме. Хели је такође доказао специјалан случај Хан—Банахове теореме 1912. године. Рис је 1910. године решио функционални проблем за неке специфичне просторе, а 1912. године га је Хели решио за општију класу простора. Тек 1932. године је Банах, у једној од првих важних примена Хан—Банахове теореме, решио општи функционални проблем. Следећа теорема формулише општи функционални проблем и карактерише његово решење.
Хан-Банахова теорема имплицира горенаведену тврдњу. Да би се то увидело, довољно је приметити да постојање непрекидног линеарног функционала , где је или или , имплицира тезу, једноставно узимајући за (коначну) норму функционала , која је ненегативан реални број. За обрнуто, нека је векторски потпростор од генерисан породицом . Тада неједнакост имплицира да постоји добро дефинисан линеарни функционал , такав да је , за све . Штавише, наведена неједнакост такође имплицира да је овај линеарни функционал истовремено непрекидан и да је његова норма ограничена са као непрекидни линеарни оператор. Свакако, узимајући , дефинисано као , одмах закључујемо да је семинарма и да важи , за све . Према томе, Хан-Банахова теорема (погледати „реалну или комплексну” верзију испод) имплицира постојање које проширује , при чему је његова норма, као линеарног оператора, ограничена одозго са и, стога, непрекидна. Пошто проширује g, задовољава прву тврдњу. Другим речима, Хан-Банахова теорема имплицира ову теорему како је формулисана. У случају када је рефлексиван, обе тврдње су еквивалентне.
Хан-Банахова теорема
За реалну функцију дефинисану на подскупу простора каже се да је функцијом ако важи за свако Из тог разлога, следећа верзија Хан—Банахове теореме назива се .
Теорема остаје тачна ако се захтеви за ублаже тако да се тражи само да буде конвексна функција:
Функција је конвексна и задовољава ако и само ако за све векторе и све ненегативне реалне бројеве такве да је Свака сублинеарна функција је конвексна функција. Са друге стране, ако је конвексна уз тада функција дефинисана са представља позитивно хомогену функцију (јер за свако и важи ), па, будући да је конвексна, она је и сублинеарна. Такође је ограничена одозго са и задовољава за сваки линеарни функционал Према томе, проширење Хан—Банахове теореме на конвексне функционале нема знатно шири садржај од класичног који се односи на сублинеарне функционале.
Ако је линеарна, тада важи ако и само ако што је (еквивалентан) закључак који неки аутори пишу уместо Одавде следи да ако је уједно и , што значи да важи за свако тада ако и само ако Свака норма је семинорма и обе су симетричне уравнотежене сублинеарне функције. Сублинеарна функција је семинарма ако и само ако је уравнотежена функција. На реалном векторском простору (мада не на комплексном векторском простору), сублинеарна функција је семинарма ако и само ако је симетрична. Функција идентитета на представља пример сублинеарне функције која није семинарма.
За комплексне или реалне векторске просторе
Теорема о доминираном проширењу за реалне линеарне функционале имплицира следећу алтернативну тврдњу Хан—Банахове теореме која се може применити на линеарне функционале над реалним или комплексним векторским просторима.
Теорема остаје тачна ако се захтеви за ублаже тако да се тражи само да за све и све скаларе и који испуњавају
Овај услов је испуњен ако и само ако је конвексна и уравнотежена функција која задовољава или еквивалентно, ако и само ако је конвексна, задовољава и за све и све скаларе јединичне дужине.
За комплексни функционал кажемо да је ако важи за свако из домена од Са овом терминологијом, претходне тврдње Хан—Банахове теореме могу се концизније преформулисати:
Хан-Банахова теорема о доминираном проширењу: Ако је семинорма дефинисана на реалном или комплексном векторском простору тада сваки доминирани линеарни функционал дефинисан на векторском потпростору од има доминирано линеарно проширење на цео У случају када је реални векторски простор и само конвексна или сублинеарна функција, овај закључак ће остати тачан уколико се оба појма „доминиран” (што значи ) ослабе тако да уместо њих значе „доминиран ” (што значи ).
Доказ
Следећа запажања омогућавају да се Хан-Банахова теорема за реалне векторске просторе примени на (комплесне) линеарне функционале над комплексним векторским просторима.
Сваки линеарни функционал над комплексним векторским простором је потпуно одређен својим реалним делом преко формулеАко има реални део тада је што доказује да је Замењујући уместо и користећи добијамо
и додатно, ако је норма на онда су њихове дуалне норме једнаке: Специфично, линеарни функционал на проширује неки други који је дефинисан на ако и само ако су њихови реални делови једнаки на (другим речима, линеарни функционал проширује ако и само ако проширује ). Реални део линеарног функционала на је увек (што значи да је линеаран када се посматра као реални векторски простор), а ако је реално-линеарни функционал над комплексним векторским простором тада дефинише јединствени линеарни функционал на чији је реални део
Ако је линеарни функционал на (комплексном или реалном) векторском простору и ако је семинарма тада важиНека је било које хомогено скаларно пресликавање на (попут линеарног функционала) и нека је било које пресликавање које задовољава за свако и скаларе јединичне дужине (попут семинарме). Ако је тада је За обрнуто, претпоставимо да је и фиксирајмо Нека је и изаберимо било које тако да је преостаје да се покаже да је Хомогеност од имплицира да је реално тако да важи Према претпоставци, и тако да је као што је и требало показати.
Исказано једноставнијим речником, линеарни функционал је доминиран семинармом ако и само ако је његов реални део доминиран одозго са
Претходни доказ показује да када је семинарма, тада постоји бијекција између доминираних линеарних проширења од и доминираних реално-линеарних проширења од доказ чак даје и формулу за експлицитну конструкцију линеарног проширења функције из било ког датог реално-линеарног проширења њеног реалног дела.
Непрекидност
Линеарни функционал на тополошком векторском простору је непрекидан ако и само ако ово важи за његов реални део уколико је домен нормиран простор тада је (при чему је једна страна бесконачна ако и само ако је друга бесконачна). Претпоставимо да је тополошки векторски простор и да је сублинеарна функција. Ако је непрекидна сублинеарна функција која доминира линеарним функционалом тада је нужно непрекидан. Штавише, линеарни функционал је непрекидан ако и само ако је његова апсолутна вредност (која представља семинарму која доминира функцијом ) непрекидна. Конкретно, линеарни функционал је непрекидан ако и само ако је доминиран неком непрекидном сублинеарном функцијом.
Доказ
Хан-Банахова теорема за реалне векторске просторе у основи следи из Хелијевог почетног резултата за специјални случај где се линеарни функционал проширује са на већи векторски простор у којем има кодимензију
Ова лема остаје тачна уколико је само конвексна функција уместо сублинеарне функције.
Претпоставимо да је конвексна, што значи да важи за све и Нека и буду као у тексту леме. За било које и било које позитивне реалне бројеве позитивни реални бројеви и се сабирају у па стога конвексност функције на гарантује
и отуда
чиме се доказује да важи што након множења обе стране са постаје
Ово имплицира да су вредности дефинисане са
реални бројеви који испуњавају Као у претходном доказу једнодимензионалне теореме о доминираном проширењу, за било који реални број дефинишемо са Може се проверити да ако важи тада је где следи из када је (односно, следи из када је ).
Лема изнад је кључни корак у извођењу теореме о доминираном проширењу помоћу Цорнове леме.
Када има пребројиву кодимензију, тада се доказ Хан—Банахове теореме може завршити коришћењем индукције и поменуте леме. Стандардни доказ општег случаја користи Цорнову лему иако се може користити и строго слабија лема о ултрафилтеру (која је еквивалентна теореми о компактности и теореми о Буловом простом идеалу). Хан-Банахова теорема се такође може доказати користећи Тихоновљеву теорему за компактне Хаусдорфове просторе (која је такође еквивалентна леми о ултрафилтеру).
Пројекат Mizar је у потпуности формализовао и аутоматски проверио доказ Хан—Банахове теореме у датотеци HAHNBAN.Датотека HAHNBAN
Теорема о непрекидном проширењу
Хан-Банахова теорема се може користити да би се гарантовало постојање непрекидних линеарних проширења непрекидних линеарних функционала.
Изражено речником теорије категорија, основно поље векторског простора представља ијективни објекат у категорији локално конвексних векторских простора.