У математици, класични ортогонални полиноми су најчешће коришћени ортогонални полиноми: Ермитови полиноми, Лагерови полиноми, Јакобијеви полиноми (укључујући као посебан случај Гегенбауерове полиноме, Чебишевљеве полиноме и Лежандрове полиномеВиди ).
Они имају многе важне примене у областима као што су математичка физика (посебно теорија случајних матрица), теорија апроксимација, нумеричка анализа и многе друге.
Класични ортогонални полиноми појавили су се почетком 19. века у радовима Адријен-Марија Лежандра, који је увео Лежандрове полиноме. Крајем 19. века, проучавање верижних разломака за решавање проблема момента од стране П. Л. Чебишова, а затим и А. А. Маркова и Т. Ј. Стилтјеса довело је до општег појма ортогоналних полинома.
За дате полиноме и , класични ортогонални полиноми су окарактерисани тиме што су решења диференцијалне једначине
са константама које треба одредити. Чланак на Википедији о Родригесовој формули садржи доказ да полиноми добијени из Родригесове формуле задовољавају диференцијалну једначину овог облика и такође изводи .
Постоји неколико општијих дефиниција класичних ортогоналних полинома; на пример, користе овај термин за све полиноме у Ескијевој шеми.
Дефиниција
Генерално, ортогонални полиноми у односу на тежину задовољавају
Горње релације дефинишу до на множење бројем. За фиксирање константе користе се различите нормализације, нпр.
Класични ортогонални полиноми одговарају следећим трима породицама тежина:
Стандардна нормализација (која се такође назива стандардизација) детаљније је описана у наставку.
Јакобијеви полиноми
За Јакобијеви полиноми су дати формулом
Нормализовани су (стандардизовани) са
и задовољавају услов ортогоналности
Јакобијеви полиноми су решења диференцијалне једначине
Важни специјални случајеви
Јакобијеви полиноми код којих је називају се Гегенбауерови полиноми (са параметром ).
За , они се називају Лежандрови полиноми (за које је интервал ортогоналности [−1, 1], а тежинска функција је једноставно 1):
За , добијају се Чебишевљеви полиноми (друге, односно прве врсте).
Ермитови полиноми
Ермитови полиноми су дефинисани сакористе се и друге конвенције; видети Ермитове полиноме.
Они задовољавају услов ортогоналности
и диференцијалну једначину
Лагерови полиноми
Уопштени Лагерови полиноми су дефинисани са
(класични Лагерови полиноми одговарају случају .)
Они задовољавају релацију ортогоналности
и диференцијалну једначину
Диференцијална једначина
Класични ортогонални полиноми произилазе из диференцијалне једначине облика
где је Q дати (највише) квадратни полином, а L дати линеарни полином. Функцију f и константу λ треба одредити.
(Имајте на уму да има смисла да таква једначина има полиномско решење. Сваки члан у једначини је полином, а степени су конзистентни.)
Ово је једначина Штурм-Лиувиловог типа. Такве једначине генерално имају сингуларитете у својим функцијама решења f, осим за одређене вредности λ. Могу се посматрати као проблеми сопственог вектора/сопствене вредности: Нека је D диференцијални оператор, , и променом знака за λ, проблем се састоји у проналажењу сопствених вектора (сопствених функција) f, и одговарајућих сопствених вредности λ, таквих да f нема сингуларитете и да важи D(f) = λf.
Решења ове диференцијалне једначине имају сингуларитете осим ако λ не узме специфичне вредности. Постоји низ бројева λ0, λ1, λ2, ... који воде до низа полиномских решења P0, P1, P2, ... ако је испуњен један од следећих скупова услова:
Q је заиста квадратни, L је линеарни, Q има два различита реална корена, корен од L лежи строго између корена од Q, а водећи чланови од Q и L имају исти знак. Q није квадратни, већ линеарни, L је линеарни, корени од Q и L су различити, а водећи чланови од Q и L имају исти знак ако је корен од L мањи од корена од Q, или обрнуто. Q је само константа различита од нуле, L је линеарни, а водећи члан од L има супротан знак од Q.
Ова три случаја доводе до полинома налик Јакобијевим, налик Лагеровим и налик Ермитовим редом.
У сваком од ова три случаја имамо следеће:
Решења су низ полинома P0, P1, P2, ..., од којих сваки Pn има степен n, и одговара броју λn. Интервал ортогоналности је ограничен било којим коренима које има Q. Корен од L је унутар интервала ортогоналности. Нека је , полиноми су ортогонални под тежинском функцијом . W(x) нема нула нити бесконачности унутар интервала, иако их може имати на крајњим тачкама. W(x) даје коначан унутрашњи производ за било које полиноме. W(x) се може направити да буде веће од 0 у интервалу. (Ако је потребно, помножите целу диференцијалну једначину са -1 тако да је Q(x) > 0 унутар интервала.)
Због константе интеграције, величина R(x) одређена је само до на произвољну позитивну мултипликативну константу. Она ће се користити само у хомогеним диференцијалним једначинама (где то није битно) и у дефиницији тежинске функције (која такође може бити неодређена). Табеле у наставку ће дати „званичне” вредности за R(x) и W(x).
Родригесова формула
Под претпоставкама из претходног одељка, Pn(x) је пропорционалан са
Ово је познато као Родригесова формула, названа по Олинду Родригесу. Често се записује као
где бројеви en зависе од стандардизације. Стандардне вредности за en биће дате у табелама испод.
Бројеви λn Под претпоставкама из претходног одељка, имамо
(Пошто је Q квадратни, а L линеарни полином, и су константе, па су ово само бројеви.)
Други облик диференцијалне једначине Нека је
Тада је
Сада множимо диференцијалну једначину
са R/Q, чиме се добија
или
Ово је стандардни Штурм-Лиувилов облик једначине.
Трећи облик диференцијалне једначине Нека је
Тада је
Сада множимо диференцијалну једначину
са S/Q, чиме се добија
или
Али важи , па је
или, увођењем смене u = Sy,
Формуле које укључују изводе Под претпоставкама из претходног одељка, нека P означава r-ти извод од Pn. („r” се ставља у средње заграде да би се избегла забуна са експонентом.) P је полином степена n − r. Тада имамо следеће:
(ортогоналност) За фиксирано r, полиномски низ P, P, P, ... јесу ортогонални, тежине . (уопштена Родригесова формула) P је пропорционалан са (диференцијална једначина) P је решење једначине , где је λr иста функција као и λn, то јест, (диференцијална једначина, други облик) P је решење једначине
Постоје и неке мешовите рекурентне релације. У свакој од њих, бројеви a, b и c зависе од n и r, и нису повезани у различитим формулама.
Постоји огроман број других формула које на различите начине укључују ортогоналне полиноме. Овде је наведен мали узорак таквих формула, које се односе на Чебишевљеве, придружене Лагерове и Ермитове полиноме:
Ортогоналност
Диференцијална једначина за одређено λ може се записати (изостављајући експлицитну зависност од x)
множењем са добија се
а заменом индекса добија се
одузимањем и интеграцијом:
али се може видети да важи
тако да:
Ако су полиноми f такви да је члан на левој страни једнак нули, и за , тада ће важити релација ортогоналности:
за .
Извођење из диференцијалне једначине
Сви полиномски низови који произилазе из горенаведене диференцијалне једначине еквивалентни су, под скалирањем и/или померањем домена, као и стандардизацијом полинома, рестриктивнијим класама. Те рестриктивније класе су управо „класични ортогонални полиноми”.
Сваком полиномском низу налик Јакобијевом може се померити и/или скалирати домен тако да његов интервал ортогоналности буде [−1, 1] и да важи Q = 1 − x2. Затим се могу стандардизовати у Јакобијеве полиноме . Постоји неколико њихових важних поткласа: Гегенбауерови, Лежандрови и две врсте Чебишевљевих полинома. Сваком полиномском низу налик Лагеровом може се померити, скалирати и/или рефлектовати домен тако да његов интервал ортогоналности буде и да важи Q = x. Затим се могу стандардизовати у придружене Лагерове полиноме . Обични Лагерови полиноми представљају њихову поткласу. Сваком полиномском низу налик Ермитовом може се померити и/или скалирати домен тако да његов интервал ортогоналности буде и да важи Q = 1 и L(0) = 0. Затим се могу стандардизовати у Ермитове полиноме .
С обзиром на то да су сви полиномски низови који произилазе из диференцијалне једначине на горе описан начин тривијално еквивалентни класичним полиномима, увек се користе стварни класични полиноми.
Јакобијеви полиноми Полиноми налик Јакобијевим, након што им се домен помери и скалира тако да интервал ортогоналности буде [−1, 1], и даље имају два параметра која треба одредити. То су и у Јакобијевим полиномима, записани као . Имамо и . Оба параметра, и , морају бити већа од −1. (Ово смешта корен од L унутар интервала ортогоналности.)
Када и нису једнаки, ови полиноми нису симетрични у односу на x = 0.
Диференцијална једначина
јесте Јакобијева једначина.
За више детаља, погледајте чланак о Јакобијевим полиномима.
Гегенбауерови полиноми Када се параметри и у Јакобијевим полиномима поставе да буду међусобно једнаки, добијају се Гегенбауерови или ултрасферни полиноми. Они се записују као и дефинишу као
Имамо и . Параметар мора бити већи од −1/2.
(Узгред, стандардизација дата у табели испод не би имала смисла за α = 0 и n ≠ 0, јер би тада полиноми били једнаки нули. У том случају, прихваћена стандардизација поставља уместо вредности наведене у табели.)
Занемарујући горенаведена разматрања, параметар је уско повезан са изводима од :
или, општије:
Сви остали класични полиноми налик Јакобијевим (Лежандрови, итд.) представљају специјалне случајеве Гегенбауерових полинома, који се добијају одабиром вредности за и одабиром стандардизације.
За више детаља, погледајте чланак о Гегенбауеровим полиномима.
Лежандрови полиноми Диференцијална једначина је
То је Лежандрова једначина.
Други облик диференцијалне једначине је:
Рекурентна релација је:
Мешовита рекурентна релација је:
Родригесова формула је:
За више детаља, погледајте чланак о Лежандровим полиномима.
Придружени Лежандрови полиноми Придружени Лежандрови полиноми, означени са где су и цели бројеви при чему важи , дефинисани су као
Параметар m у заградама (како би се избегла забуна са експонентом) јесте параметар. Параметар m у средњим заградама означава m-ти извод Лежандровог полинома.
Ови „полиноми” имају погрешан назив — они нису полиноми када је m непаран број.
Они имају рекурентну релацију:
За фиксирано m, низ чине ортогонални полиноми на интервалу [−1, 1], са тежином 1.
За дато m, су решења једначине
Чебишевљеви полиноми Диференцијална једначина је
То је Чебишевљева једначина.
Рекурентна релација је:
Родригесова формула је:
Ови полиноми имају особину да, у интервалу ортогоналности, важи
(Да бисте то доказали, користите рекурентну формулу.)
То значи да сви њихови локални минимуми и максимуми имају вредности −1 и +1, односно да су полиноми „равномерни”. Због тога се развој функција преко Чебишевљевих полинома понекад користи за полиномске апроксимације у рачунарским математичким библиотекама.
Неки аутори користе верзије ових полинома који су померени тако да интервал ортогоналности буде [0, 1] или [−2, 2].
Такође постоје и Чебишевљеви полиноми друге врсте, означени са
Имамо:
За више детаља, укључујући изразе за првих неколико полинома, погледајте чланак о Чебишевљевим полиномима.
Лагерови полиноми Најопштији полиноми налик Лагеровим, након померања и скалирања домена, јесу придружени Лагерови полиноми (који се називају и уопштени Лагерови полиноми), означени са . Постоји параметар , који може бити било који реалан број строго већи од −1. Параметар се ставља у заграде како би се избегла забуна са експонентом. Обични Лагерови полиноми су једноставно верзија ових полинома за :
Диференцијална једначина је
То је Лагерова једначина.
Други облик диференцијалне једначине је:
Рекурентна релација је:
Родригесова формула је:
Параметар је уско повезан са изводима од :
или, општије:
Лагерова једначина се може трансформисати у облик који је кориснији у применама:
решење је једначине
Ово се може даље трансформисати. Када је цео број, и :
решење је једначине