Во нумеричката анализа, формулите на Њутн-Коутс, наречени и Њутн-Коутсови квадратурни правила или едноставно Њутн-Коутсови правила, се група формули за нумеричка интеграција (наречена и квадратура) засновани на пресметувања на подинтегралната функција (интегранд) во точки што се еднакво оддалечени во интервалот на интеграција. Правилата се наречени по Исак Њутн, кој ги открил формулите, и Роџер Коутс, кој ја проширил работата на Њутн.

Њутн-Коутсовите формули можат да бидат корисни ако е дадена вредноста на подинтегралната функција во точки што се рамномерно оддалечени во интервалот на интеграцијата и кога е познато дека подинтегралната функција има конечен број непрекинати изводи. Ако подинтегралната функција е бесконечно диференцијабилна и е можно да се променат точките во кои што се пресметува подинтегралната функција, тогаш употребата на други методи, како што се Гаусовата квадратура и Кленшо-Кертисовата квадратура, можат да дадат поголема прецизност по едно пресметување функција.

Опис Се претпоставува дека вредноста на функцијата , дефинирана на , е позната во точки што се рамномерно оддалечени: . Постојат две класи на Њутн-Коутсова квадратура: 1. ако и , т.е. ако се употребуваат вредностите на подинтегралната функција и во крајните точки на интервалот ,тогаш квадратурните формули се нарекуваат „затворени“ и 2. ако и , т.е. тие не ги користат вредностите на подинтегралната функцијата во крајните точки на интервалот , се нарекуваат „отворени“. Њутн-Коутсовите формули што користат точки, можат да се дефинираат (за обете класи, затворените и отворените) како: каде што

за затворена формула, , со , за отворена формула, , со .

Бројот се нарекува големина на чекор, а се нарекуваат тежински вредности. Тежинските вредности можат да се пресметаат како интеграли на базисните Лагранжови полиноми. Тие зависат само од , но не и од функцијата . Нека е Лагранжов полином со кој што се интерполираат дадените точки на податоци .Потоа

Нестабилност за висок степен n Њутн-Коутсовата формула, од било кој степен n може да биде конструирана. Сепак, за големи правилото на Њутн-Котс може да биде подложно на катастрофалниот Рунгеов феномен при чијашто манифестација грешката расте експоненцијално за големи n. За функции за кои што е познато дека нивните изводи од повисок ред се глатки, методите, како што се Гаусовата квадратура и Кленшо-Кертисовата квадратура со нееднакво оддалечени точки-примероци (групирани близу крајните точки на интервалот на интеграција) се стабилни и даваат поголема прецизност по едно пресметување на функција и обично се претпочитаат пред Њутн-Коутсовото правило. Овие методи не можат да се користат, ако подинтегралната функција е дадена само на фиксна рамномерно распределена мрежа, или ако подинтегралната функција не е доволно глатка. Во тој случај Рунгеовиот феномен може да се избегне со користење на композитно правило, како што е објаснето подолу.

Алтернативно, стабилните Њутн-Коутсови формули можат да се конструираат со користење на апроксимација со најмали квадрати наместо интерполација. Ова овозможува конструирање нумерички стабилни формули дури и за високи степени.

Затворени Њутн-Коутсови формули Следната табела ги наведува некои од Њутн-Коутсовите формули од затворен тип. За , нека каде што , и . +Затворени Њутн-Коутсови формулиГолемина на чекор Вообичаено имеФормулаЧлен на грешка1Правило на трапез2Симпсоново правило3Симпсоново правило на 3/84Булово правило5—6— Правилата на Њутн-Коутс кои што користат повеќе точки може да вклучуваат јазли со негативни тежини. Методите од повисок ред генерално се сметаат за подложни на Рунгеовиот феномен (видете погоре). Буловото правило понекогаш погрешно се нарекува Боудово правило, како резултат на ширењето на типографска грешка во „Абрамовиц и Стеган“ , ран прирачник.

Експонентот на големината на чекорот h, во членот на грешката, ја одредува брзината со која што се намалува грешката на апроксимацијата. Редот на изводот на f во членот на грешката го дава најнискиот степен на полином што повеќе не може точно да се интегрира (т.е. со грешка еднаква на нула) со ова правило. Бидејќи бројот мора да се земе од интервалот , границата на грешката е еднаква на членот на грешка ако е исполнето: .

Отворени формули на Њутн-Коутс Во следната табела се наведени некои од Њутн-Коутсовите формули од отворен тип. Формулите го апроксимираат интегралот во интервалот , без да мора да се пресметува вредноста на подинтегралната функција во која било крајна точка на интервалот на интеграцијата. Ова е корисно во случаи каде што е познато дека крајната точка на интервалот на интеграцијата е сингуларност. За формулата со n точки, нека , каде што , , и нека . +Отворени Њутн-Коутсови формули Големина на чекор Вообичаено име Формула Член на грешка 1 Правило на правоаголник, или правило на средна точка 2 3 Милново правило 4 Сепак, во случаи со 2 или повеќе точки, овие правила не се сложуваат толку добро како стандардните правила за затворен интервал; празнина од е оставена помеѓу примероците од соседните панели.

Композитни правила За да се добие поголема точност на апроксимациите што се добиваат со Њутн-Коутсовите правила, големината на чекорот треба да биде мала. Ова подразбира дека и интервалот на интеграцијата мора самиот да биде мал, што не е исполнето секогаш. Поради оваа причина, обично се изведува нумеричка интеграција со претходна поделба на интервалот на помали подинтервали и на нив се применува Њутн-Коутсовото правило. На крај резултатите од секој подинтервал се собираат. Оваа постапка се нарекува композитно правило. Видете Нумеричка интеграција.

Поврзано

Квадратура (математика) Интерполација Сплајн-интерполација

Наводи

Надворешни врски М. Абрамовиц и И.А. Стеган, уредници. Прирачник за математички функции со формули, графикони и математички табели. Њујорк: Довер, 1972. (Видете го делот 25.4.) Џорџ Е. Форсајт, Мајкл А. Малколм и Клив Б. Молер. Компјутерски методи за математички пресметки. Енглвуд Клифс, Њу Џерси: Прентис-Хол, 1977. (Видете го делот 5.1.) Прес, ВХ; Теуколски, СА; Ветерлинг, ВТ; Фланери, БП (2007), „Дел 4.1. Класични формули за еднакво оддалечени апсциси“, Нумерички рецепти: Уметност на научното пресметување (3то изд.), Њу Јорк: Издаваштво на Кембриџскиот универзитет, ISBN 978-0-521-88068-8 Јозеф Стоер и Роланд Булирш. Вовед во нумеричка анализа. Њујорк: Спрингер-Верлаг, 1980 година. (Видете го делот 3.1.)

Њутн-Коутсови формули on www.math-linux.com

Њутн-Коутсова интеграција, numericalmathematics.com

Категорија:Страници со непрегледан превод